Existence and partial regularity of suitable weak solutions to the 3D Navier-Stokes-Vlasov-Fokker-Planck equations

技术摘要：三维 Navier-Stokes-Vlasov-Fokker-Planck 方程中适宜弱解的存在性与局部正则性

问题陈述
本文研究了三维不可压缩 Navier-Stokes-Vlasov-Fokker-Planck (NSVFP) 系统，该系统模拟了由粘性不可压缩流体与分散颗粒或气泡组成的两相混合物的动力学。该系统将用于描述流体速度 $u$ 和压力 $P$ 的 Navier-Stokes 方程与用于描述粒子密度分布函数 $f$ 的 Vlasov-Fokker-Planck 方程耦合在一起。耦合通过与相对速度 $(v-u)$ 成正比的摩擦力项以及动力学方程中的反馈项实现。本文解决的主要数学挑战是在全空间 $\mathbb{R}^3$ 中构造“适宜弱解”（suitable weak solutions）的全局存在性，并随后表征这些解的局部正则性，特别是流体速度奇异集的豪斯多夫维数（Hausdorff dimension）。

方法论
作者采用结合了紧致性论证的正则化方法来构造解并分析其性质：

1. 正则化系统： 作者引入了一个包含流体速度平滑算子 $\theta_\varepsilon$ 和摩擦项中速度依赖性截断函数 $\gamma_\delta$ 的正则化系统 (1.3)。通过使用 Banach 压缩映射原理，该系统存在全局强解 $(u_{\varepsilon,\delta}, f_{\varepsilon,\delta})$。
2. 一致估计： 方法论的一个关键组成部分是建立独立于正则化参数 $\varepsilon$ 和 $\delta$ 的一致估计。
   • 能量估计： 推导了正则化系统的全局和局部能量不等式。
   • 矩估计： 作者证明了分布函数的高阶矩，即 $|v|^\kappa f$（其中 $\kappa \ge 3$）的界限。
   • 新型速度估计： 为了处理全空间域和非局部摩擦力，作者利用 Tao 的 Littlewood-Paley 分解推导了速度 $u$ 的 $L^1_t L^p_x$ 先验估计。这使得他们能够控制密度函数 $f$ 和摩擦力项的收敛性。
3. 紧致性与收敛性： 应用 DiPerna-Lions 紧致性方法来建立分布函数 $f_{\varepsilon,\delta}$ 及其矩在 $L^p$ 空间中的强收敛性。使用 Aubin-Lions 引理来实现速度场的强收敛。至关重要的是，作者证明了熵项 $f \log f$ 以及加权熵项的强收敛性，这对于在局部能量不等式中取极限是必要的。
4. 验证适宜弱解条件： 作者严格验证了极限对 $(u, f)$ 满足所有“适宜弱解”的条件，包括全局能量不等式和两种不同类型的局部能量不等式。

主要贡献与结果

• 适宜弱解的存在性 (定理 1.2)： 本文在初始数据要求具有有限质量、能量、熵以及直到 $\kappa \ge 3$ 阶矩的条件下，建立了 3D NSVFP 系统的全局适宜弱解的存在性。这些解满足标准的分布形式和特定的能量不等式。
• 新型局部能量不等式： 作者构造并验证了两类局部能量不等式（定义 1.1 中的第 (v) 和 (vi) 项）。这些不等式对于局部正则性理论至关重要，涉及特定的测试函数以及对非局部耦合项的处理。这些不等式的推导在很大程度上依赖于 $f$、$|v|^\kappa f$ 和 $f \log f$ 的强收敛性。
• 流体速度的局部正则性 (定理 1.5)： 在初始数据具有高达 $15+\kappa$ 阶矩（其中 $\kappa > 0$）的附加假设下，作者证明了流体速度 $u$ 的奇异点集 $S_{u, \text{sing}}$ 的抛物型豪斯多夫维数为零。这一结果将著名的纯 Navier-Stokes 方程中的 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 理论扩展到了耦合动力学-流体系统。
• 分布函数的 Hölder 连续性 (定理 1.6)： 在流体速度 $u$ 的任何正则点 $z_0$ 处，作者确立了分布函数 $f$ 的 $\alpha$-Hölder 连续性。这表明流体速度的正则性会传播到粒子分布的正则性。

意义与主张
本文声称提出了第一个建立完整 3D NSVFP 系统中适宜弱解的存在性并量化其奇异集豪斯多夫维数的结果。作者强调，由于在无界域中建立密度函数 $f$ 和非局部摩擦力项收敛性的困难，推导局部能量不等式是非平凡的。

局部正则性定理中对高阶矩（高达 $15+\kappa$）的要求被描述为技术性但必要的。它确保了摩擦力项属于 $L^q_{t,x}$（其中 $q > 5/2$），从而使耦合项可以被视为一个不会降低奇异集抛物型豪斯多夫维数的扰动。这项工作弥合了发展成熟的 Navier-Stokes 方程局部正则性理论与更复杂的动力学-流体模型之间的差距，为分析两相流中的奇异性提供了一个严谨的框架。