Weak and strong averaging principle for 2D Boussinesq equations with non-Lipschitz Poisson jump noise

技术摘要：具有非 Lipschitz 泊松跳跃噪声的 2D Boussinesq 方程的弱平均与强平均原理

问题陈述
本文研究了定义在环面 $T^2$ 上、受非 Lipschitz 泊松跳跃噪声驱动的二维（2D）Boussinesq 方程的平均原理。该系统模拟了流体流动与热传输中速度场 $u$ 与温度场 $\theta$ 的相互作用。研究重点是一个双尺度随机系统，其中温度变量相对于涡度变量 $j$（定义为速度的旋度）在快速时间尺度上演化。控制方程由补偿泊松随机测度驱动，且系数满足非 Lipschitz 条件，具体特征是由一个凹的、连续的、非减函数 $\kappa(\cdot)$ 而非标准的 Lipschitz 界限所刻画。主要目标是严格证明，当时间尺度分离参数 $\varepsilon \to 0$ 时，慢变量（涡度）收敛于平均方程的解。

研究方法
作者采用了一种结合了随机分析、泛函分析和遍历理论的多步分析框架：

1. 适定性与正则性： 论文首先在非 Lipschitz 条件下，建立了原双尺度系统解的存在性与唯一性。利用针对 Lévy 噪声的 Itô 公式和 Burkholder-Davis-Gundy (B-D-G) 不等式，作者推导出了涡度变量 $j^\varepsilon$ 的一致正则性估计和紧性性质。
2. 冻结方程的遍历性： 为了构建平均方程，作者分析了“冻结”温度变量 $\theta$ 的方程，其中慢变量 $j$ 被视为固定参数。他们证明了该冻结系统存在唯一的遍历不变测度 $\pi^u$，并建立了向该平衡态的指数收敛性。
3. 平均方程的构建： 平均系数（$\bar{f}, \bar{\sigma}_1, g$）被定义为原系数对不变测度 $\pi^u$ 的积分。论文证明了这些平均系数保留了必要的非 Lipschitz 连续性性质，以确保极限平均方程的适定性。
4. 收敛性证明：
   • 弱收敛： 利用分布族的紧性和 Skorohod 表示定理，作者证明了涡度变量在概率意义下收敛到平均方程的解。
   • 强收敛： 在慢变量噪声项（$\sigma_1$）不依赖于快速变量 $\theta$ 的特定条件下，作者利用 Khasminskii 时间离散化方法，通过构造辅助过程并应用 Bihari 不等式，证明了 $2p$ 阶均值的强收敛性。

主要贡献与结果

• 向非 Lipschitz 噪声的扩展： 本文将平均原理推广到了由非 Lipschitz 系数驱动的泊松跳跃噪声驱动的随机 Boussinesq 方程，这一设定与标准的 Lipschitz 或高斯噪声框架相比具有显著挑战。
• 严格的收敛定理：
  • 定理 5.2（弱收敛）： 证明了对于任何 $T > 0$ 和 $\eta > 0$，$\lim_{\varepsilon \to 0} P(\sup_{t \in [0,T]} |j^\varepsilon - \bar{j}|_H > \eta) = 0$。
  • 定理 5.3（强收敛）： 在慢变量噪声独立于快速变量的假设下，建立了强收敛性：$\lim_{\varepsilon \to 0} E[\sup_{t \in [0,T]} |j^\varepsilon_t - \bar{j}_t|^{2p}_H] = 0$。
• 遍历性分析： 研究提供了关于冻结温度方程遍历性的详细估计，包括不变测度的界限和收敛速率，这对于定义平均漂移项和扩散项至关重要。
• 数值验证： 构建了一个涉及非 Lipschitz 幂律项（$|j|^{2/3}, |\theta|^{1/3}$）的具体示例。包含 100 个样本的数值模拟证实了理论预测，显示出均方误差随 $\varepsilon$ 减小而下降，这与推导出的收敛速率一致。

意义
本文填补了多尺度随机流体力学文献中的空白，特别是当快速变量满足带有对流项和非 Lipschitz 噪声的反应扩散方程时。作者指出，现有结果通常需要与 Boussinesq 模型不同的抽象反应扩散结构。通过同时处理对流项和非 Lipschitz 条件，这项工作为近似复杂的多尺度流体-热系统提供了稳健的理论基础。其结果对于理解此类系统在长时间尺度下的统计行为，以及开发能够捕捉慢变量本质动力学并平均掉快速波动的降阶模型具有重要意义。数值示例证实了理论发现，展示了所推导的平均原理的实际适用性。