New sums mixing harmonic numbers and central binomial coefficients

技术摘要：混合谐波数与中心二项式系数的新求和公式

问题陈述
本文研究了涉及中心二项式系数倒数的组合求和公式的求值问题，特别是这些系数与谐波数（$H_n$）、奇谐波数（$O_n$）以及二阶广义谐波数（$H_n^{(2)}$）混合的情况。虽然关于形式为 $\sum \frac{2^{2k}}{\binom{2k}{k}}$ 及其推广形式的求和公式已有详尽记录（例如 Rockett、Complet 和 Gould 的研究），但作者的重点在于推导当这些系数与指数的幂次（$k^d$）及谐波项相乘时的闭式解和递推解。这项工作通过引入包含谐波分量的广义二项式求和，扩展了 Bataille 和 Frontczak 关于广义二项式求和的既有发现。

方法论
主要采用的方法论是将微分算子法应用于已知的组合恒等式。作者利用谐波数与 Digamma 函数 $\psi(z)$ 之间的关系，即 $H_z = \psi(z+1) + \gamma$，通过对参数 $m$（其中二项式系数被推广为 $\binom{m+k}{k}$）对现有恒等式进行求导，从而生成包含 $H_{k+m}$ 的项。

关键技术步骤包括：

1. 广义恒等式的微分： 从 [3, Theorem 4.2] 中建立的恒等式出发：
   $$\sum_{k=0}^n \frac{2^{2k}}{\binom{2k}{k}} \binom{m+k}{k} = \frac{1}{2m+3} \left( (m+n+1)\binom{m+n}{n}\binom{2n}{n} 2^{2n+1} + 1 \right)$$
   作者对 $m$ 求导，利用性质 $\frac{d}{dm}\binom{m+k}{k} = \binom{m+k}{k}(H_{k+m} - H_m)$。
2. 分部求和法（Abel 变换）： 对于幂次和 $U_d(n)$ 和 $V_d(n)$，作者采用 Abel 变换来推导递归关系。他们定义辅助序列 $u_k = \frac{2^{2k}}{\binom{2k}{k}}$ 和 $a_k = (2k-1)(k-1)^d$，将求和转化为涉及低阶和的递归形式。
3. 代数简化： 得到的结果通过分离有理部分和无理部分（特别是处理涉及半整数参数时分离 $\ln 2$ 项）进行简化，并利用 $H_n$、$O_n$ 与 $H_{2n}$ 之间的已知关系。

主要贡献与结果

1. 广义谐波和（Theorem 2.1）：
   本文建立了一个关于形式为 $\sum_{k=0}^n \frac{2^{2k}}{\binom{2k}{k}} \binom{m+k}{k} H_{k+m}$ 之和的一般恒等式。该结果对复数 $m$ 均有效（排除非正整数及 $-3/2$）。

   • 推论 2.2 & 2.4： 通过取特定的 $m$ 值，作者推导出了以下项的闭式表达式的新结果：
     $$\sum_{k=0}^n \frac{2^{2k}}{\binom{2k}{k}} H_k \quad \text{以及} \quad \sum_{k=0}^n \frac{2^{2k}}{\binom{2k}{k}} H_{2k}$$
     这些结果被呈现为潜在的新结果，与先前已知的奇谐波数恒等式有所区别。

2. 幂次和的递归解（Theorems 3.1 & 3.3）：
   作者定义了两类和：

   • $U_d(n) = \sum_{k=1}^n \frac{2^{2k}}{\binom{2k}{k}} k^d$
   • $V_d(n) = \sum_{k=1}^n \frac{2^{2k}}{\binom{2k}{k}} k^d H_k$
     他们推导出了递归公式，将 $U_d(n)$ 和 $V_d(n)$ 表示为低阶和（$U_{d-j}$ 和 $V_{d-j}$）及边界项的形式。文中还提供了 $d=1, 2, 3$ 时的显式闭式解。
   • 观察： 文中指出，$V_d(n)$ 可以表示为一个涉及 $H_n$、常数项及归一化因子 $N(d) = \prod_{j=0}^{d+1} (2j+1)$ 的特定多项式形式。

3. 第二类谐波和（Theorem 4.1）：
   推导出了涉及项 $\frac{2^{-2k}}{2k-1}$ 的第二类恒等式。Theorem 4.1 提供了一个涉及 $\binom{m+k+1}{k} H_{m+k+1}$ 之和的一般公式。其推论提供了 $m=0$ 和 $m=1$ 情况下的具体求值，并将这些和与 $H_{n+1}$ 及 $H_{n+2}$ 联系起来。

4. 涉及平方谐波数的和（Theorem 5.1）：
   本文研究了涉及 $H_k^2 - H_k^{(2)}$（其中 $H_k^{(2)} = \sum_{j=1}^k j^{-2}$）的求和。通过对 Theorem 2.1 中的恒等式进行二次求导（或利用 Digamma 函数的导数），他们推导出了如下项的闭式解：
   $$\sum_{k=0}^n \frac{2^{2k}}{\binom{2k}{k}} \binom{m+k}{k} (H_{k+m}^2 - H_{k+m}^{(2)})$$

   • 推论 5.2： 提供了 $\sum \frac{2^{2k}}{\binom{2k}{k}} H_k^2$ 和 $\sum \frac{2^{2k}}{\binom{2k}{k}} H_k^{(2)}$ 的具体结果。
   • 局限性： 作者明确指出，剩余项 $\sum_{j=1}^n \frac{2^{2j}}{j^2 \binom{2j}{j}}$ 的闭式求值仍然是一个难题，且在现有文献中尚未发现。

意义与范围
本文定位为作者此前工作 [3] 的增补，将已知中心二项式系数恒等式的范围扩展到了包含谐波数及其幂次的情况。其意义在于：

• 提供了混合中心二项式系数与 $H_k$ 及 $H_{2k}$ 的新闭式恒等式。
• 建立了计算任何正整数 $d$ 下之和 $\sum \frac{2^{2k}}{\binom{2k}{k}} k^d H_k$ 的系统性递归方法。
• 强调了微分算子法在从现有恒等式生成新组合恒等式方面的效用。

作者保持了谦逊的基调，指出虽然在递归解中得到的多项式 $P_d(n)$ 和 $Q_d(n)$ 很有趣，但其更深层的结构属性仍需进一步研究。他们还提出了涉及变量 $x$ 的生成函数（类似于 Mansour 以及 Batir/Sofo 的工作）的研究方向，以更好地理解与这些和相关的多项式。本文并不提出实验性应用，而是专注于这些组合求和的理论推导与求值。