$hp$-a posteriori error estimates for hybrid high-order methods applied to biharmonic problems

问题陈述
本文研究了应用于双调和问题（$\Delta^2 u = f$）且具有固定边界条件（在 $\partial\Omega$ 上 $u = \partial_n u = 0$）的混合高阶（HHO）方法的后验误差估计。该问题设定在具有一般拓扑结构（可能包含孔洞）的二维和三维多面体 Lipschitz 区域上。目标是推导出对网格尺寸（$h$）、多项式阶数（$p$ 或 $k$）以及定义域拓扑结构均具有鲁棒性的基于残差的 $hp$-误差估计器。

方法论
作者开发了一个框架，通过将误差分解为共形（conforming）部分和非共形（nonconforming）部分来界定总误差。

1. 误差分解： 误差被分为共形部分（通过重建的 $H^2_0$ 函数的能量范数进行衡量）和非共形部分（离散解与共形空间之间的距离）。
2. 非共形误差控制：
   • 为了界定非共形误差，作者使用 $C^1$-单位分解（partition of unity）构造了离散解的一个共形 $H^2_0$ 重建。
   • 该单位分解是基于 $C^1$-共形有限元空间构建的（具体采用了基于网格 Alfeld 分裂的 [40] 中的构造）。
   • 至关重要的是，作者在顶点补丁（stars）上采用了局部亥姆霍兹分解（local Helmholtz decompositions）。不同于以往依赖全局亥姆霍兹分解的方法（全局分解引入的常数取决于定义域中孔洞的数量），这种局部方法确保了稳定性常数仅取决于网格的形状正则性（shape-regularity）。
3. 共形误差控制：
   • 推导了两个截然不同的共形误差上界，每个上界都利用了特定的插值算子：
     • 设置 1： 使用规范的混合有限元插值算子（$C^{k+2}_T$）。该方法依赖于该算子与 HHO 重建组成的复合函数是一个 $H^2$-椭圆投影这一性质。由此得到的界仅涉及稳定项和数据振荡（data oscillation），但它取决于关于插值误差的一个数值假设（假设 3.4）。
     • 设置 2： 使用改进的 Babuška–Suri $hp$-插值算子（$I^{k+2}_{mBS}$）。该方法不需要额外的假设，但引入了额外的误差指示项，特别是体残差（bulk residuals）以及法向/切向通量跳跃。
4. 残差估计器： 文中定义了局部误差指示器，包括稳定项、体残差、法向通量跳跃和切向跳跃，并由适当的 $hp$-因子进行缩放。

主要贡献

• 首个针对双调和问题的 HHO $hp$-估计器： 本研究提供了首个应用于双调和问题在一般 2D 和 3D 区域上的基于残差的 HHO 方法 $hp$-后验误差估计器。
• 具有拓扑鲁棒性的局部亥姆霍兹分解： 本文建立了一个关于顶点星形区域（vertex patches）局部亥姆霍兹分解的新型稳定性估计。证明了其稳定性常数仅取决于网格的形状正则性，从而避免了由于全局分解方法导致的常数随定义域孔洞数量增加而退化的问题。
• 双重上界： 推导出的两种不同共形误差上界提供了灵活性。其中一个上界是“简洁”的（仅依赖于稳定项和振荡），但以数值验证的假设为前提；另一个则是无条件的，但包含了更复杂的残差项。
• 扩展至一般拓扑： 该方法明确设计用于处理具有任意拓扑结构（多个孔洞）的定义域，这是在处理四阶问题时 $hp$-估计中经常难以解决的特征。

结果

• 理论界限： 主定理（定理 5.6）确立了总误差（破碎 Hessian 范数加稳定项）受所提议误差指示器之和的限制。这些界限被证明是 $h$-最优的，并且在 $p$ 阶上是次优的（最多低一个阶数，或者在经过验证的假设下可能低 $1/2$ 阶）。
• 数值验证：
  • 假设验证： 2D 和 3D 中的数值实验证实了关于规范混合算子插值误差的假设 3.4 的有效性。
  • 收敛阶： 在光滑解下的 3D 测试表明，能量误差和估计器均以最优速率 $O(\text{DoFs}^{-(k+1)/d})$ 收敛。
  • 有效性指数： 在各种多项式阶数和网格加密下，估计器表现出适中的有效性指数（范围大约在 1.2 到 2.0 之间）。
  • 拓扑鲁棒性： 在具有递增孔洞数量（0, 1, 4, 8）的 2D 定义域上的实验表明，有效性指数保持稳定，证实了估计器对定义域拓扑具有鲁棒性的理论主张。
  • 自适应性能： 由该估计器驱动的 $h$-自适应算法成功地在 2D（L型区域）和 3D（点奇异性）的奇异解情况下恢复了最优收敛速率，表现优于均匀加密。

意义
作者将这项工作定位为首次在 $hp$-设定下，结合$C^1$-单位分解与顶点星形区域局部亥姆霍兹分解来界定双调和问题非共形误差的工作。其主要意义在于能够控制非共形误差，而不必承担随定义域拓扑复杂度（孔洞数量）增加而恶化的稳定性常数。此外，作者指出，虽然该方法是针对 HHO 方法开发的，但通过局部亥姆霍兹分解来界定非共形误差的技术可能同样适用于其他非共形方法，例如内罚项不连续伽辽金（IPDG）方法。本文并未声称提供了下误差界，而是指出此类下界可以通过对现有论证的调整得出，但由于当前 $hp$-技术在构造特定泡函数（bubble functions）和扩展算子方面的局限性，可能会表现出过于悲观的 $p$-次优性。