Analogue of the theta group $Γ_θ$

这是一篇由日本新居浜高等专门学校（Niihama College）的 Kazuhide Matsuda 撰写的数论论文，主要研究模群 $\Gamma(1) = SL(2, \mathbb{Z})$ 的子群——theta 群（$\Gamma_\theta$）的高阶推广，并构造了定义在这些群上的模形式及其乘子系统。

以下是该论文的详细技术总结：

1. 研究问题 (Problem)

• 背景：经典的 theta 群 $\Gamma_\theta$ 定义为 $\Gamma(1)$ 中满足 $a \equiv d \pmod 2$ 且 $b \equiv c \pmod 2$ 的矩阵集合。已知 Dedekind $\eta$ 函数和 theta 常数 $\theta(\tau)$ 分别是 $\Gamma(1)$ 和 $\Gamma_\theta$ 上权为 $1/2$ 的模形式。
• 核心问题：如何构造 $\Gamma_\theta$ 的高阶推广（即 $\Gamma_{\theta, N}$），并在此基础上构造新的模形式？具体地，作者关注 $N=3$ 和 $N=4$ 的情况，旨在：
  1. 定义 $\Gamma_{\theta, 3}$ 和 $\Gamma_{\theta, 4}$。
  2. 构造定义在这些群上的模形式 $F(\tau)$ 和 $G(\tau)$。
  3. 计算这些模形式的乘子系统（multiplier systems） $\nu_F$ 和 $\nu_G$ 的显式公式。
  4. 利用乘子系统的核（Kernel）发现新的模群子群结构。

2. 方法论 (Methodology)

• 定义推广群：
  作者定义了 $\Gamma_{\theta, N}$ 为 $\Gamma(1)$ 的子群，满足：
  $$\Gamma_{\theta, N} = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma(1) \mid a \equiv d \pmod N, \ b \equiv -c \pmod N \right\}$$
  其中 $N=3, 4$。
• 构造模形式：
  利用 Dedekind $\eta$ 函数的性质，构造了两个新的函数：
  • 对于 $N=3$：$F(\tau) = \eta\left(\frac{\tau-1}{3}\right) \eta\left(\frac{\tau+1}{3}\right)$
  • 对于 $N=4$：$G(\tau) = \eta\left(\frac{\tau-1}{4}\right) \eta\left(\frac{\tau+ 1}{4}\right)$
    作者证明了这两个函数分别是 $\Gamma_{\theta, 3}$ 和 $\Gamma_{\theta, 4}$ 上权为 $1$的模形式（因为$\eta$的权是$1/2$，两个相乘权变为$1$）。
• 计算乘子系统：
  利用 Knopp 关于 $\eta$ 函数乘子系统 $\nu_\eta$ 的已知公式（涉及 Legendre 符号和指数项），通过矩阵分解技术（将 $M \in \Gamma_{\theta, N}$ 作用在 $\tau$ 上转化为 $\eta$ 函数的自变量变换），推导 $F(M\tau)$ 和 $G(M\tau)$ 与 $F(\tau)$、$G(\tau)$ 之间的关系。
  具体步骤包括：
  1. 将 $M\tau \pm 1/N$ 重写为 $M'(\tau \pm 1/N)$ 的形式，其中 $M'$ 是新的 $SL(2, \mathbb{Z})$ 矩阵。
  2. 应用 $\eta$ 的变换公式，得到 $\nu_F(M) = \nu_\eta(M_1)\nu_\eta(M_2)$。
  3. 根据 $c$ 的奇偶性以及 $M$ 模 $N$ 的剩余类，分情况讨论并简化指数项，最终得到 $\nu_F$ 和 $\nu_G$ 的显式表达式。
• 子群分析：
  通过分析乘子系统 $\nu^k$（即 $\nu$ 的 $k$ 次幂）的核 $\text{Ker } \nu^k$，确定 $\Gamma_{\theta, N}$ 的不同子群结构，并给出 $\Gamma(1)$ 模这些子群的陪集分解。

3. 主要结果 (Key Results)

A. 乘子系统的显式公式

• 对于 $\Gamma_{\theta, 3}$ 和 $F(\tau)$：
  作者根据 $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_{\theta, 3}$ 模 3 的剩余类（$\pm I$ 或 $\pm \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$）以及 $c$ 的奇偶性，给出了 $\nu_F(M)$ 的四种情况下的指数公式（见定理 3.2 - 3.5 及 3.6）。
  例如，当 $M \equiv \pm I \pmod 3$ 且 $c$ 为奇数时：
  $$\nu_F(M) = \exp\left\{ \frac{\pi i}{6} \left[ 3c + \frac{1}{3}(a+d)c + \frac{4}{3}bd \right] \right\}$$

• 对于 $\Gamma_{\theta, 4}$ 和 $G(\tau)$：
  同样根据 $M$ 模 4 的剩余类（$\pm I, \pm \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ 或 $\pm \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \pm \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$）及 $c$ 的奇偶性，给出了 $\nu_G(M)$ 的公式（见定理 4.3 - 4.5）。
  例如，当 $c$ 为奇数时：
  $$\nu_G(M) = \exp\left\{ \frac{\pi i}{6} \left[ 3(c+d-2) + \frac{1}{4}(a+d)c + \frac{1}{4}(b+c)d - cd(1+bc) \right] \right\}$$

B. 乘子系统的核与子群结构

作者研究了 $\nu^k$ 的核 $\text{Ker } \nu^k$，发现对于不同的 $k$ 值（模 12 的余数），这些核构成了 $\Gamma_{\theta, N}$ 的不同子群：

• $k \equiv 0 \pmod{12}$：核为整个群 $\Gamma_{\theta, N}$。
• $k \equiv 6 \pmod{12}$：核由满足特定模 2 或模 8 条件的矩阵组成（例如对于 $N=3$，要求 $M \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \pmod 2$）。
• $k \equiv \pm 3, \pm 4, \pm 2, \pm 1, \pm 5 \pmod{12}$：作者详细列出了这些情况下核的具体同余条件（涉及模 4, 8, 9, 16 等），并给出了陪集分解的代表元。
  • 例如，对于 $N=3, k \equiv \pm 4 \pmod{12}$，核由满足 $b/3 \equiv c/3 \pmod 3$ 或 $a/3 \equiv -d/3 \pmod 3$ 的矩阵组成（模 9）。

C. 陪集分解

• 计算了 $\Gamma(1)$ 模 $\Gamma_{\theta, 3}$ 和 $\Gamma_{\theta, 4}$ 的陪集分解，确定了这些子群在 $\Gamma(1)$ 中的指数。
• 确定了 $\Gamma_{\theta, 3}$ 和 $\Gamma_{\theta, 4}$ 的抛物点（Parabolic points）均为 $\infty$ 和 $-1$。

4. 意义与贡献 (Significance)

1. 理论扩展：成功将经典的 theta 群概念推广到了任意整数 $N$ 的层级，并具体解决了 $N=3$ 和 $N=4$ 的构造问题。
2. 新模形式：构造了具体的模形式 $F(\tau)$ 和 $G(\tau)$，丰富了模形式理论中的实例库。
3. 乘子系统显式化：提供了极其详尽的乘子系统计算公式。在模形式理论中，乘子系统的显式表达对于研究模形式的空间结构、L-函数以及数论应用至关重要。
4. 子群分类：通过乘子系统的核，发现并分类了一系列新的模群子群。这些子群具有特定的同余性质，可能在未来与椭圆曲线、模表示论或其他数论问题产生联系。
5. 计算验证：论文展示了复杂的代数推导过程，特别是处理 Legendre 符号和高阶同余条件时的技巧，为后续研究类似的高阶 theta 群提供了方法论参考。

总结：这篇论文通过严谨的代数推导，完成了对 theta 群高阶版本的模形式构造及其乘子系统的完整计算，不仅给出了具体的公式，还揭示了这些群丰富的子群结构，是模形式理论中关于乘子系统和子群结构研究的重要补充。