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A blended approach for evolving phase fields using peridynamics: Cyclic loading in quasi-brittle fracture

该论文提出了一种结合非局部本构律与两点历史依赖相场的混合方法，通过引入不可逆塑性变形和损伤软化弹性模量，在满足热力学定律的前提下实现了对准脆性材料（如混凝土）在循环加载下损伤演化、断裂能量及尺寸效应的无网格预测。

原作者： Hayden Bromley, Robert Lipton

发布于 2026-03-13

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原作者： Hayden Bromley, Robert Lipton

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

这篇论文介绍了一种预测材料如何断裂和损坏的新方法，特别是针对像混凝土、砖块或岩石这样“既脆又有点韧性”的材料（准脆性材料）。

为了让你更容易理解，我们可以把这项研究想象成给材料设计了一套“智能记忆系统”，用来模拟它在受力时是如何一步步“受伤”直到“断裂”的。

以下是用通俗语言和比喻对这篇论文核心内容的解读：

1. 核心问题：材料是怎么“累”坏的？

想象你手里拿着一块旧饼干。

传统方法：以前的科学家通常把饼干看作一个整体，或者用很多小方块（网格）来模拟。当饼干裂开时，他们需要在裂缝处专门画一条线，或者用复杂的规则告诉电脑“这里裂了”。这就像在走路时，每走一步都要停下来检查地面有没有裂缝，非常麻烦且容易出错。
这篇论文的新方法：他们不再把材料看作一堆小方块，而是看作无数个互相连接的小点（就像一张巨大的蜘蛛网）。每个点都通过“弹簧”（ bonds）和周围的点连在一起。

2. 核心创新：给弹簧装上“记忆”和“双向开关”

这是这篇论文最厉害的地方。他们给这些连接点的“弹簧”加上了两个特殊功能：

功能一：记忆功能（历史依赖）
想象这些弹簧有记忆。如果你把弹簧拉长了，它不会立刻弹回去，而是会记住“我曾经被拉得这么长”。即使你松手，它也记得自己受过伤，变得有点软了。
- 比喻：就像你拉伸一根橡皮筋，拉得越久，它回弹的能力就越弱。这个模型能记住材料过去受过的最大拉力，并据此判断它现在有多“脆弱”。
功能二：双向性格（拉断 vs 压扁）
以前的模型通常只关心“拉断”。但现实中的混凝土，拉的时候容易断，压的时候却很硬。
- 比喻：想象一根面条。你把它拉，它很容易断（这是拉伸损伤）；但你把它压，它只会变短变硬，不会断（这是压缩弹性）。
- 这篇论文引入了两个“相位场”（可以理解为两个不同的“受伤计数器”）：一个专门记录“被拉伤”的程度，另一个记录“被压伤”的程度。这样，模型就能完美模拟混凝土在受力时“拉断”和“压不坏”的复杂行为。

3. 工作原理：牛顿第二定律的“魔法”

通常，模拟裂缝需要两个方程：一个管运动（牛顿定律），一个管裂缝怎么长（额外的裂缝方程）。

这篇论文的做法：它只用了一个方程（牛顿第二定律，即力=质量×加速度）。
比喻：想象你在玩一个物理游戏。你不需要告诉电脑“哪里会裂”，你只需要告诉电脑“这里受力了”。电脑会自动计算：因为材料有“记忆”且“弹簧”变软了，受力大的地方会自动断开连接。
- 当连接点之间的力消失时，裂缝就自然形成了。
- 神奇之处：裂缝不是“画”出来的，而是材料自己“算”出来的。就像水结冰时，冰晶是自然形成的，不需要你拿笔去画冰的纹路。

4. 能量守恒：不会凭空消失的“力气”

论文还证明了，这个模型严格遵守物理定律（热力学）。

比喻：你推一个箱子，你用的力气一部分变成了箱子的动能（让它动起来），一部分变成了摩擦生热（能量耗散）。
在这个模型里，材料断裂时消耗的能量（断裂能）和塑性变形消耗的能量，都能被精确计算出来。它保证了能量不会凭空消失，也不会凭空产生，完全符合物理世界的规则。

5. 实际效果：像照镜子一样准确

研究人员用这个模型模拟了真实的混凝土实验（比如三点弯曲测试，就像把一根混凝土梁架在两个支点上，中间压下去）。

结果：
1. 循环加载：如果你反复压弯混凝土再松开（像折铁丝一样），模型能准确画出那种“回弹一点点，但越来越软”的曲线（滞回环）。
2. 尺寸效应：这是个大亮点。以前人们发现，大块的混凝土梁比小块的更容易坏（相对强度更低）。这个模型不需要人为调整参数，就能自动算出“越大越容易坏”的现象。就像它天生就懂“大个子更容易累”一样。
3. 无网格：它不需要把材料切成小方块（网格），所以计算裂缝路径时非常灵活，裂缝可以走任何方向，不会受网格限制。

总结

这篇论文提出了一种**“混合”方法**：
它把非局部力学（点与点之间的远程互动）和相场理论（描述损伤的连续场）结合在了一起。

简单说就是：
他们发明了一种**“有记忆、分拉压、能自愈（指计算逻辑上的自洽）”**的虚拟材料。只要输入材料的硬度、强度和断裂能，电脑就能自动模拟出材料在受力时，哪里会先变软、哪里会裂开、裂缝会怎么跑，而且结果和真实实验惊人地一致。

这对于工程师来说非常有用，因为它能更准确地预测桥梁、大坝或建筑物在地震或重载下是如何损坏的，从而设计出更安全、更耐用的结构。

这篇论文提出了一种用于预测准脆性材料（如混凝土）损伤和断裂的混合场理论方法。该方法结合了**非局部连续介质力学（Peridynamics）与相场（Phase Field）**概念，特别针对包含不可逆（塑性）变形以及随损伤软化的弹性模量的复杂工况进行了建模。

以下是对该论文的详细技术总结：

1. 研究问题 (Problem)

传统的断裂力学初始边界值问题（IBVP）在描述准脆性材料的循环加载、塑性滞后、损伤局部化以及动态断裂演化时面临挑战。现有的相场方法通常将相场演化方程与基于牛顿第二定律的位移演化方程耦合（例如通过 Ginzburg-Landau 方程或变分约束），这引入了额外的演化方程和参数。
本文旨在解决以下核心问题：

如何仅利用牛顿第二定律（即动量守恒方程）来统一描述位移演化、损伤演化、塑性变形和断裂？
如何在循环加载（Cyclic Loading）下准确捕捉材料的**塑性滞后（Hysteresis）**和不可恢复应变？
如何建立一个数学上适定（Well-posed）的模型，能够自然地导出能量平衡、断裂能以及尺寸效应，而无需人为假设断裂准则？

2. 方法论 (Methodology)

2.1 核心理论框架

混合相场 - 近场动力学（Blended Phase Field-Peridynamics）：
- 不再引入独立的相场演化方程。相场被定义为历史依赖的本构律的一部分，完全由位移场决定。
- 利用非局部相互作用（两点之间的“键”，Bond）来描述材料行为。应变定义为两点间位移的差商（Difference Quotient）。
- 控制方程仅基于牛顿第二定律： $\rho \ddot{u} + \mathcal{L}_\epsilon[u] = b$ ，其中 $\mathcal{L}_\epsilon$ 是非局部力算子。

2.2 本构模型：双点历史依赖相场

应变分解： 总应变被分解为弹性应变和不可逆（塑性）应变。
双相场变量： 为了区分拉伸和压缩下的不同损伤机制，引入了两个独立的相场变量：
- $\gamma_+$ ：拉伸相场，描述拉伸损伤和软化。
- $\gamma_-$ ：压缩相场，描述压缩损伤（通常假设压缩下保持弹性或具有不同的软化行为）。
记忆函数与卸载律：
- 引入记忆函数 $S^*$ 记录历史最大/最小应变。
- 定义了卸载比（Unloading Ratio, $\beta$ ）： $\beta$ 是考虑材料软化后的塑性应变与无软化情况下的塑性应变之比（ $0 \le \beta \le 1$ ）。
- 通过 $\beta$ 参数，模型能够灵活地模拟从脆性断裂（ $\beta \to 0$ ，仅弹性软化）到准脆性断裂（ $\beta > 0$ ，伴随塑性变形）的过渡。
强度包络（Strength Envelope）： 应力 - 应变行为由强度包络和一系列基于损伤和塑性的卸载定律描述。当键上的力消失时，键断裂（即裂纹形成）。

2.3 数学性质

适定性： 论文证明了在 Banach 空间中存在唯一的位移解，且相场和塑性应变随时间绝对连续。
能量平衡： 通过运动方程直接推导出了能量平衡定律。证明了能量耗散率 $\dot{D} \ge 0$ ，符合热力学第二定律。
断裂能恢复： 利用几何测度论，证明了当非局部尺度趋于零时，模型导出的断裂能等于 Griffith 断裂能（临界能量释放率 $\times$ 裂纹面积），且该公式与非局部长度尺度无关。

3. 关键贡献 (Key Contributions)

单一演化方程框架： 提出了一种仅依赖牛顿第二定律的断裂演化框架，消除了传统相场方法中需要额外求解相场演化方程的复杂性，实现了位移与材料行为的双向耦合。
循环加载与塑性滞后建模： 通过引入双相场（拉伸/压缩）和卸载比 $\beta$ ，成功描述了准脆性材料在循环加载下的塑性滞后环、刚度退化和不可恢复应变。
无网格数值方法： 基于上述连续体模型，开发了一种无网格（Mesh-free）数值方法。该方法不需要单元连接，基于积分离散化，能够自然地模拟裂纹萌生、扩展和分叉，无需预设裂纹路径。
参数标定与物理意义：
- 模型参数（弹性模量、断裂能、强度）通过 $\Gamma$ -收敛和几何测度论直接标定，而非经验拟合。
- 明确指出非局部长度尺度 $\epsilon$ 不是材料属性，而是数值离散参数，用于控制损伤局部化的分辨率，不影响材料强度或断裂能的标定。
尺寸效应（Size Effect）的自然涌现： 模型无需人为引入尺寸效应公式，即可在数值模拟中自然重现准脆性材料的确定性尺寸效应（即结构尺寸越大，名义强度越低）。

4. 实验结果与验证 (Results)

论文通过多个基准算例验证了模型的有效性，并与实验数据及其他数值方法进行了对比：

三点弯曲试验（混凝土）：
- 单调与循环加载： 模拟了高强混凝土梁的三点弯曲试验。结果在力 - 裂纹口张开位移（Force-CMOD）曲线上与实验数据（Chen and Liu, 2023）高度吻合，准确捕捉了循环加载下的滞回环和刚度退化。
- 网格收敛性： 进行了 $\epsilon$ -收敛（视界大小）和 $m$ -收敛（视界与网格比）研究，证明了数值解的稳定性。
混合模式断裂（Mixed-Mode Fracture）：
- 模拟了带有不同偏移量预裂纹的混凝土梁（Jenq and Shah, 1988）。模型准确预测了不同偏移量下的裂纹路径和力 - 位移响应。
- 模拟了 L 形混凝土试件的混合模式断裂（Winkler, 2001），成功复现了从纯 I 型向 I/II 型混合模式的裂纹扩展路径。
尺寸效应验证：
- 对三种不同尺寸的混凝土梁进行了模拟（García-Álvarez et al., 2012）。
- 结果显示，随着梁尺寸增大，名义断裂强度降低，模型定量地捕捉到了这一尺寸效应，且结果与实验数据及 Hobbs et al. (2022) 的指数势函数模型一致。

5. 意义与结论 (Significance)

理论突破： 该工作证明了仅通过牛顿第二定律和非局部本构律即可构建一个自洽的、热力学相容的断裂力学理论，无需引入额外的相场演化方程。
工程应用价值： 该方法特别适用于准脆性材料（如混凝土、岩石、砌体）的损伤预测。它能够同时处理从准静态到动态的加载过程，以及单调和循环加载工况。
计算效率与精度： 作为一种无网格方法，它避免了传统有限元中裂纹追踪的复杂性。同时，通过最小化的材料常数（仅需杨氏模量、抗拉强度、断裂能和卸载比），实现了与实验的高度定量一致性。
未来展望： 该框架为各向异性介质和复合材料的损伤预测提供了基础，并可通过张量值相场进一步扩展。

总结： 这篇论文提出了一种创新的“混合”方法，将相场概念融入近场动力学的本构律中，成功解决了准脆性材料在循环加载下的损伤演化、塑性滞后和断裂预测问题。其核心优势在于数学上的严谨性（适定性、能量守恒）和物理上的自洽性（无需额外演化方程、自然涌现尺寸效应），为复杂断裂问题的数值模拟提供了强有力的工具。