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Data-Driven Reachability of Nonlinear Lipschitz Systems via Koopman Operator Embeddings

本文提出了一种基于 Koopman 算子嵌入与 zonotope 集合表示的数据驱动框架，通过将非线性 Lipschitz 系统提升为有限维线性模型来计算可达集，从而在确保形式化安全保证的同时，显著降低了传统方法在长时域预测及噪声环境下的保守性。

原作者： Alireza Naderi Akhormeh, Ahmad Hafez, Abdulla Fawzy, Amr Alanwar

发布于 2026-04-02

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CC BY 4.0

原作者： Alireza Naderi Akhormeh, Ahmad Hafez, Abdulla Fawzy, Amr Alanwar

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

这篇论文主要解决了一个让机器人和自动驾驶汽车非常头疼的问题：如何在不知道确切物理公式的情况下，安全地预测它们未来的运动轨迹？

为了让你轻松理解，我们可以把这篇论文的核心思想比作**“给混乱的舞蹈编排一套简单的舞步”**。

1. 核心难题：预测未来的“迷雾”

想象你正在看一个复杂的机器人跳舞（比如自动驾驶汽车在转弯）。

传统方法（模型驱动）：就像你需要先背下所有的物理公式（摩擦力、空气阻力、电机扭矩等），才能算出它下一秒在哪。但在现实世界中，这些公式很难搞准，一旦算错，机器人可能会撞车。
现有数据驱动方法：就像你只看着机器人过去的动作录像，然后猜它下一步怎么走。但这种方法有个大问题：如果时间推得越远，或者录像里有噪点（测量误差），你的猜测就会变得极其保守。
- 比喻：为了绝对安全，你画了一个巨大的“安全圈”把机器人可能去的所有地方都圈进去。结果这个圈大得像整个操场，虽然绝对安全，但毫无用处，因为你不知道它具体会在哪里。

2. 论文的新招：科普曼算子（Koopman Operator）——“升维魔法”

这篇论文提出了一种叫**“科普曼算子”**的技术。

比喻：想象非线性系统（复杂的舞蹈）是在一个弯曲的滑梯上滑行，很难预测。
升维：科普曼算子就像是一个魔法眼镜，它把机器人从“弯曲的滑梯”投影到了一个**更高维度的、平坦的“空中走廊”**里。
效果：在这个“空中走廊”里，原本复杂的非线性动作（比如急转弯、加速）突然变得像直线运动一样简单了！
- 在原来的世界里，机器人转弯是曲线；
- 在“空中走廊”里，它看起来就像是在走直线。

3. 具体怎么做？（三步走）

第一步：学习“新语言”

研究人员不需要知道机器人的物理公式。他们只需要给机器人看很多很多段“输入 - 输出”的录像（比如：按了加速键，车往前走了多少）。
利用这些数据，他们训练出一个**“翻译器”**（即论文中的提升函数），把机器人原本复杂的动作翻译成那个“空中走廊”里的简单直线运动。

第二步：在“空中走廊”里画圈

既然在“空中走廊”里运动变简单了（变成了线性系统），计算未来的轨迹就非常容易且精准。

他们使用一种叫**“ zonotope（ zonotope 是多边形的一种，像变形的六边形盒子）”**的数学工具来画“安全圈”。
因为运动变简单了，这个“安全圈”可以画得非常紧凑，紧紧贴着机器人的实际轨迹，而不是像以前那样画个巨大的操场。

第三步：把圈“投影”回地面，并加上“安全补丁”

算出“空中走廊”里的精准轨迹后，再把它投影回现实世界。

关键点：因为“翻译”过程不可能是 100% 完美的（会有误差），而且录像里也有噪音。
补丁：论文设计了一套严密的数学方法，专门计算这个“翻译误差”和“噪音”最大会有多大，然后给这个紧凑的“安全圈”加上一个最小的、必要的“安全补丁”。
结果：既保证了绝对安全（真轨迹一定在圈里），又避免了过度保守（圈不会大得离谱）。

4. 为什么这个方法很厉害？

更精准：在长距离预测（比如预测未来 10 秒）时，传统方法画的圈会越来越大，直到覆盖整个街道。而这篇论文的方法，圈依然很小，能精准地告诉机器人：“你大概会在这个车道里”。
更通用：不管机器人是简单的（线性）还是复杂的（非线性，比如车在打滑），这个方法都能用。
有保证：它不是靠“猜”或者“概率”（比如 95% 安全），而是靠数学证明100% 安全。

5. 实际测试

作者不仅在电脑上模拟了化学反应器（CSTR）和复杂的数学模型，还真的在**一辆真实的自动驾驶小车（JetRacer）**上做了实验。

结果：在真实的赛道上，他们的方法画出的“安全范围”比现有的其他方法都要小得多（更精准），这意味着自动驾驶汽车可以更自信地高速行驶，而不需要因为害怕撞车而开得慢吞吞。

总结

这篇论文就像给自动驾驶汽车装上了一副**“透视眼镜”**。它把原本混乱、难以预测的复杂运动，转化成了简单、可预测的直线运动，从而能在保证绝对安全的前提下，画出最精准的“未来轨迹图”。这让机器人能在充满不确定性的现实世界中，既安全又灵活地行动。

论文技术总结：基于 Koopman 算子嵌入的非线性 Lipschitz 系统数据驱动可达性分析

1. 研究背景与问题陈述 (Problem Statement)

在机器人控制领域，动态和不确定环境下的安全验证至关重要。传统的基于模型的形式化验证方法依赖于精确的系统动力学模型，但在复杂机器人平台中往往难以获取，导致在缺乏精确模型时变得过于保守。

核心问题：
现有的数据驱动可达性分析方法（通常基于 zonotope 表示）虽然具有可扩展性和计算效率，但在处理非线性系统时存在显著缺陷：

过度保守性：特别是在长预测视界（long prediction horizons）下，传统的线性数据驱动方法（如基于最小二乘的线性模型）无法准确捕捉非线性动态，导致可达集（Reachable Sets）的过近似（Over-approximation）范围过大。
噪声与不确定性：在存在测量噪声和建模不确定性的情况下，如何保证形式化的安全边界（Formal Safety Guarantees）是一个挑战。
现有方法的局限：基于深度学习的 Koopman 方法往往缺乏样本效率且作为“黑盒”难以解释；而现有的 Koopman 可达性分析多依赖于显式的动力学知识来推导误差界，难以直接应用于仅拥有测量数据的数据驱动场景。

2. 方法论 (Methodology)

本文提出了一种基于 Koopman 算子嵌入的数据驱动可达性分析框架，旨在解决非线性、非仿射（non-affine）Lipschitz 系统在含噪数据下的安全验证问题。

2.1 核心思想：Koopman 算子提升 (Koopman Lifting)

该方法利用 Koopman 算子理论，将非线性系统状态映射到更高维的观测空间（Lifted Space），在该空间中非线性动态近似为线性动态。

状态 - 输入依赖的提升：不同于传统的线性时不变（LTI）Koopman 模型，本文采用了状态依赖和状态 - 输入依赖的提升函数（Lifting Functions）。这使得提升后的线性模型能更准确地捕捉原始非线性系统的动态特性。
模型形式：在提升空间中，系统被表示为：
$\phi(x_{k+1}) = A\phi(x_k) + B\nu(x_k, u_k) + r_{\psi, k} + r_{w, k}$
其中， $r_{\psi, k}$ 是 Koopman 线性化残差， $r_{w, k}$ 是噪声引起的残差。

2.2 数据驱动的算子识别

算子学习：直接从含噪的状态 - 输入轨迹数据中，通过最小二乘回归（Least-Squares Regression）识别 Koopman 矩阵 $K = [A, B]$ 。
残差建模：为了处理模型失配，算法聚合了所有可用轨迹的多步预测误差，构建了数据驱动的残差边界。

2.3 可达集计算流程

提升空间传播：在提升空间中，利用**Zonotope（zonotope）**表示集合，通过线性变换和 Minkowski 和高效地传播可达集。Zonotope 能够处理凸集运算，保证计算的可扩展性。
误差界构建：
- 线性化误差 ( $\bar{L}_k$ )：通过泰勒展开的拉格朗日余项，利用 Hessian 矩阵的区间边界进行有界估计。
- Koopman 建模残差 ( $L_k$ )：基于数据计算多步预测误差，并构建区间 Zonotope 进行覆盖。
- 噪声传播 ( $Z_{w\psi}$ )：利用 Lipschitz 连续性，将原始状态空间的噪声界映射到提升空间。
- 覆盖半径误差 ( $Z_\epsilon$ )：利用 Lipschitz 常数和数据覆盖半径，将基于数据的误差界扩展到整个可达域。
投影与合成：将提升空间中的可达集投影回原始状态空间，并与上述所有不确定性集合（残差、噪声、覆盖误差）进行 Minkowski 求和，最终得到原始非线性系统的保证过近似可达集。

2.4 理论保证

论文证明了该框架生成的可达集是真实可达集的超集（Over-approximation），即 $\bar{X}_k \subseteq R'_k$ ，从而提供了形式化的安全保证。

3. 主要贡献 (Key Contributions)

新颖的数据驱动框架：提出了一种针对非线性、非仿射 Lipschitz 系统的可达性分析框架，直接从含噪测量数据中学习 Koopman 嵌入，无需先验动力学模型。
改进的提升策略：开发了基于状态 - 输入依赖观测量的识别方法，相比标准的 LTI 提升模型，显著提高了对非线性动态的近似精度。
严格的误差处理与可扩展性：
- 通过聚合多步预测误差和覆盖半径论证，构建了严格的数据驱动残差边界。
- 利用 Zonotope 在提升空间进行传播，实现了计算高效的可达集计算。
- 证明了最终结果是对真实系统行为的保证过近似。
广泛的验证：在代表性非线性基准系统（CSTR、非仿射系统）和真实世界自主车辆（JetRacer）实验中进行了验证。

4. 实验结果 (Results)

论文通过三个案例验证了方法的有效性：

连续搅拌釜反应器 (CSTR)：对比了 CORA（基于模型）、传统最小二乘数据驱动方法和本文方法。结果显示，在长预测视界下，本文方法的可达集保守性显著降低，更紧密地贴合真实轨迹。
非仿射非线性系统：在高度非线性的系统中，本文方法生成的过近似集比传统线性数据驱动方法和模型基方法更紧（Tighter）。
真实自主车辆实验：在 JetRacer 机器人上进行了实地测试。结果表明，本文方法在长视界预测下能提供更精确的可达集估计，有效减少了因模型线性化带来的保守性膨胀。

关键发现：

本文方法在保持形式化安全保证的同时，显著优于现有的数据驱动线性方法和传统模型基方法。
状态 - 输入依赖的 Koopman 提升是减少保守性的关键，因为它比 LTI 模型更好地捕捉了非线性特征。

5. 意义与影响 (Significance)

填补空白：解决了在缺乏精确模型且存在噪声的情况下，对非线性系统进行形式化安全验证的难题。
平衡性能与安全性：在计算效率（通过 Zonotope 和线性化）和准确性（通过 Koopman 提升和残差补偿）之间取得了良好的平衡，避免了传统方法在长视界下的过度保守。
实际应用价值：为自动驾驶、机器人导航等需要在不确定环境中进行安全规划的应用提供了可信赖的工具。
开源贡献：作者提供了开源代码库，促进了该领域的可复现性和进一步发展。

综上所述，该论文提出了一种结合 Koopman 算子理论与 Zonotope 集合表示的创新方法，成功实现了非线性系统的高精度、形式化安全可达性分析，为数据驱动的机器人安全控制提供了重要的理论支撑和实用工具。