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Stability Analysis and Data-Driven State Estimation for Generalized Persidskii Systems with Time Delays: Theory and Experimental Validation on PMSM Drives

本文提出了一种基于数据驱动的框架，用于分析具有时延的广义佩尔西茨基系统的稳定性并进行状态估计，该框架利用科普曼提升进行模型辨识，并采用 ICODE-MPPI 控制器，通过在永磁同步电机驱动系统上的实验验证，证明了其在估计精度和速度跟踪性能方面相较于传统方法具有显著改进。

原作者： Syed Pouladi

发布于 2026-05-01

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CC BY 4.0

原作者： Syed Pouladi

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下，你正试图驾驶一辆高性能电动汽车（具体而言，是一台永磁同步电机，即 PMSM）穿越雾气弥漫的山口。你手中有一张地图，但地图略有陈旧，且从你看到弯道到车辆实际转向之间存在延迟。如果你依赖标准 GPS（如同传统控制器），系统可能会因延迟和路面突发颠簸而陷入混乱，导致你冲过弯道或在雾中停滞。

本文提出了一种驾驶该车辆的更智能的新方法。它融合了三大核心思想：一套处理车辆特性的特殊数学“规则手册”、一个能精准推测车辆位置的“超级副驾”，以及一个在行驶过程中构建更优地图的学习系统。

以下是他们解决方案的拆解，采用日常类比进行说明：

1. 应对车辆特性的“规则手册”（广义 Persidskii 系统）

大多数汽车（和电机）并非完全线性。轻踩油门，车速微增；但若踩得太猛，引擎会触及极限（饱和），或者若完全松开，则存在一个毫无反应的死区。这些就是“非线性”行为。

作者使用了一种名为广义 Persidskii 系统的特定数学框架。你可以将其视为一本规则手册，其中规定：“我们知晓车辆大部分时间呈线性行为，但当其触及极限（如速度上限或死区）时，我们确切知道其偏离程度。”

通过利用这本规则手册，他们能够从数学上证明：即使路面颠簸（干扰）或转向存在延迟（时间延迟），车辆仍能保持稳定。

2. “时间延迟”问题（时间延迟）

在数字系统中，总是存在微小的延迟。你按下按钮，电机在毫秒之后才做出反应。在高速运行的系统中，这毫秒之差宛如永恒。

作者开发了一种新的稳定性测试（利用一种称为 Lyapunov–Krasovskii 泛函的方法）。这可以想象为一种“安全缓冲”计算。他们不再仅仅检查车辆“此刻”是否稳定，而是计算出一个安全裕度，该裕度考虑了信号传输所需的时间。他们证明，只要延迟保持在特定限度内（在其实验中约为 18 毫秒），车辆就绝不会失控打转。

3. “超级副驾”（鲁棒观测器）

有时，你无法看清一切。你可能知道速度，但若无昂贵传感器，便无法直接测量内部电流。你必须对其进行推测（估计）。

标准的推测器（如扩展卡尔曼滤波）在车辆遭遇突然颠簸或急转弯时往往会陷入混乱，导致推测发生漂移。作者构建了一个结构化观测器，它模仿了车辆自身的“规则手册”。由于这位副驾理解与车辆相同的限制和规则，它不会被颠簸所迷惑。

结果：在测试中，这位新副驾推测速度的准确度比标准方法高出 35%，且从突发的负载变化中恢复的速度快得多。

4. “学习地图”（Koopman 辨识）

通常，要开好一辆车，你需要确切了解引擎的物理特性。但如果你并不完全了解引擎呢？

作者使用了一种名为Koopman 提升的技术。想象一下，你正在学习一款新电子游戏。与其死记硬背每一个像素，不如学习几个能预测未来的“强力道具”模式。他们从电机获取数据，利用这种方法构建了一个简化的线性地图，以映射复杂、非线性的电机。

关键在于，他们强制这一学习过程遵守“安全规则手册”（即 Persidskii 约束）。这确保了即使地图是从数据中学习而来的，它也无法预测出车辆变得不稳定的场景。这就像一名学生只被允许学习那些被证实为安全的事实。

5. “智能驾驶员”（ICODE-MPPI 控制器）

最后，他们将所有要素整合为一个名为ICODE-MPPI的控制器。

工作原理：在采取行动之前，该控制器会在其“脑海”中运行数千次“如果……会怎样”的模拟（就像棋手思考未来 20 步棋）。
优势：由于其所使用的地图被保证是稳定的（归功于前述步骤），该控制器可以大胆尝试并迅速反应，而无需担心撞车。
结果：在与标准驾驶方法的对比测试中，该新系统对目标速度的跟踪精度提高了 67%，处理延迟和颠簸时的精度更加平滑。

核心结论

作者构建了一个完整的方案包：

数学证明：声明“即使存在延迟，该系统也是安全的”。
学习算法：在构建电机模型的同时，保证模型保持安全。
智能控制器：利用该模型完美驱动一台 1.5 千瓦的电动电机。

他们在实验室的真实电机上测试了该系统。结果表明，与目前工业界使用的方法相比，他们的方法在推测电机速度和跟踪速度目标方面显著更优。他们甚至证明，该系统在理论上变得不稳定之前，能够承受高达 18 毫秒的延迟，这一结果与他们的现实世界实验几乎完美吻合。

以下是论文《广义 Persidskii 系统的稳定性分析与数据驱动状态估计：理论与永磁同步电机驱动的实验验证》的详细技术总结。

1. 问题陈述

本文解决了针对广义 Persidskii 系统（一类耦合线性动力学与扇区有界非线性反馈的系统）在时变时延和外部干扰下的稳定性分析与状态估计挑战。

identified 的关键挑战包括：

时延敏感性： 现有的 Persidskii 系统稳定性准则通常假设无时延通道，这对于数字控制驱动和网络化系统而言是不切实际的，因为采样和传输滞后（毫秒级）在这些系统中十分常见。
模型不确定性： 在许多实际应用（如状态监测）中，系统矩阵是未知的。标准的数据驱动辨识方法（如扩展动态模态分解 - EDMD）无法保证所辨识的模型继承稳定性属性。
鲁棒控制： 在不确定性和时延条件下控制此类系统，需要一个能够确保输入到状态稳定性（ISS）的框架，以防止在瞬态干扰期间出现数值发散或不稳定。

2. 方法论

作者提出了一个统一框架，整合了理论稳定性分析、结构化观测器设计、保持稳定性的数据驱动辨识以及先进控制。

A. 理论稳定性分析

Lyapunov–Krasovskii 泛函（LKF）： 构建了一个复合 LKF，结合了：
1. 用于非线性能量的经典 Persidskii 积分项。
2. 标准的二次型时延缓冲项。
3. 基于Wirtinger 的双积分项，用于对 Jensen 不等式产生的交叉项提供更紧的界。
LMI 准则： 作者推导了一个表述为线性矩阵不等式（LMIs）的时延相关 ISS 条件。该准则保证了从干扰到状态的特定 $L_2$ 增益（ $\gamma$ ）下的 ISS，并明确考虑了最大允许时延（ $\tau_{max}$ ）。

B. 结构化鲁棒观测器

设计了一个Persidskii 结构化观测器，以镜像被控对象的架构。
通过在误差动力学中保留扇区有界结构，作者证明了观测器误差的全局收敛性。
观测器增益经过优化，以最小化从干扰到误差的传递函数的 $H_\infty$ 范数，确保了对测量噪声和外部干扰的鲁棒性。

C. 保持稳定性的数据驱动辨识

Koopman 算子框架： 将系统提升到更高维的可观测空间，以创建类线性表示。
约束回归： 与标准 EDMD 不同，辨识过程（求解 Koopman 矩阵 $A_K, B_K, C_K$ ）被表述为一个约束优化问题。
约束： 理论部分推导的ISS-LMI被作为凸侧约束嵌入到参数回归过程中。这确保了所辨识的模型在数学上被保证为 ISS，从而继承了分析模型的鲁棒性证书。

D. 控制架构（ICODE-MPPI）

辨识出的 Persidskii-Koopman 模型作为ICODE-MPPI（输入依赖的控制导向动力学估计 – 模型预测路径积分）控制器的预测核。
该控制器利用随机展开来优化控制输入。模型的结构性 ISS 保证确保了即使系统激发非线性，展开成本仍保持有界，从而防止了黑盒神经网络预测器中常见的数值不稳定性。

3. 主要贡献

改进的 LMI 准则： 利用带有 Wirtinger 基础双积分的统一 LKF，提出了针对广义 Persidskii 系统的新型时延相关 ISS 准则，得出了更紧的最大允许时延界。
结构化观测器设计： 一种具有显式增益条件的 $H_\infty$ 观测器，保证了部分状态测量系统的收敛性。
保持稳定性的辨识： 一种新颖的 Koopman 辨识协议，强制将 Persidskii ISS-LMI 作为约束，保证辨识出的模型是稳定的。
实验验证： 在 1.5 kW 永磁同步电机（PMSM）驱动上进行了全面测试，验证了理论界和控制性能。

4. 实验结果

该框架在配备可编程负载制动器和测得群时延 $\tau = 5$ ms 的 1.5 kW PMSM 测试台上进行了验证。

状态估计性能：
- 与标准扩展卡尔曼滤波（EKF）相比，Persidskii 观测器将速度估计均方根误差（RMSE）降低了35.3%（1.12 rad/s 对比 1.73 rad/s）。
- 在阶跃负载干扰后，它表现出更快的瞬态恢复能力（350 ms 对比 590 ms）。
跟踪性能：
- 与标准磁场定向控制（FOC）相比，ICODE-MPPI 控制器在速度跟踪精度上提高了67.1%。
- 通过在周期性干扰下保持稳定性并最小化相位滞后，其表现优于使用无约束神经网络的“黑盒”MPPI。
时延鲁棒性：
- 系统在人为注入高达18 ms的时延下仍保持稳定。
- 这与理论 LMI 预测的18.2 ms界非常接近。
- 相比之下，黑盒 MPPI 在约 14 ms 时失去稳定性，突显了保持稳定性约束的必要性。

5. 意义

本文弥合了严格的非线性稳定性理论与现代数据驱动控制之间的差距。其意义在于：

** bridging 理论与实践：** 它超越了理论上的无时延假设，提供了一个适用于现实世界时延和模型不确定性的框架。
数据驱动控制的安全性： 通过将稳定性约束直接嵌入辨识过程，它解决了“黑盒”问题，即数据驱动模型可能准确但在极端条件下不稳定的问题。
性能提升： PMSM 驱动上的实验结果表明，与行业标准方法（FOC 和 EKF）相比，估计精度和跟踪性能有了切实的改善，证明了该方法在高性能机电系统中的可行性。
可扩展性： 对角 Lyapunov 矩阵和结构化观测器的使用表明，该方法在计算上适用于中等维度的系统，使其适合嵌入式实现。