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Sinkhorn Ambiguity Sets for Distributionally Robust Control: Convexity, Weak Compactness, and Tractability

本文确立了辛克霍恩模糊集的凸性与弱紧性，从而为分布鲁棒线性二次控制构建了一个可处理的凸优化框架，提供了一种数据高效的水生距离方法的替代方案，该方法能有效结合观测数据与先验知识。

原作者： Riccardo Cescon, Andrea Martin, Giancarlo Ferrari-Trecate

发布于 2026-05-06

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原作者： Riccardo Cescon, Andrea Martin, Giancarlo Ferrari-Trecate

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下，你是一架大型飞机（波音 B-747）的机长，正试图从 A 点飞往 B 点。你希望高效抵达，但存在一个问题：风向难以预测。

在航空飞行的早期（经典控制时代），工程师们假设他们能完全掌握风向。他们会说：“风将确切地以每小时 10 英里的速度从北方吹来”，并据此规划航线。然而，现实中的风是混乱的。有时风速为每小时 5 英里，有时为 20 英里，有时还会以奇怪的方向突然阵风。如果你仅按“平均”风速规划，一阵突如其来的强风就可能将飞机吹离航线，从而违反安全规定。

另一方面，如果你试图做到绝对安全（鲁棒控制），你就会假设风会达到 imaginable 的最极端情况——比如飓风从各个角度同时袭击飞机。你会飞得非常慢，并绕巨大的远路以确保安全。虽然这样永远不会坠机，但你会浪费大量燃料和时间。这过于保守了。

中间道路：分布鲁棒控制（DRC）
本文提出了一种更聪明的飞行方式。工程师们不再猜测确切的风向，也不再恐惧绝对最坏的情况，而是说：“我们有一些来自过往飞行的数据（样本），但我们知道这些数据并不完美。让我们假设真实的风向位于我们数据周围的一个‘可能性云团’中的某个位置。”

这个“云团”被称为模糊集（Ambiguity Set）。目标是设计一条飞行路径，即使风向变成该特定云团内部最糟糕的版本，这条路径依然表现良好。

旧“云团”的问题（Wasserstein 距离）
有一段时间，定义这种云团的最佳方式是使用一种名为Wasserstein 距离的数学工具。然而，这个工具有一个奇怪的怪癖。如果你的数据来自少数几个特定的风速样本（例如 5 次记录的阵风），计算机计算出的“最坏情况”风向也仅仅是几个特定点。这就像说最糟糕的风向“仅仅”是北风或“仅仅”是南风，而忽略了真实的风是平滑、连续的流动，可以从两者之间的任何方向吹来。这迫使飞机变得过度谨慎，因为数学模型认为风是“尖峰状”的，且以一种自然界并不存在的方式不可预测。

新解决方案："Sinkhorn"云团
本文的作者引入了一种新工具，称为Sinkhorn 差异。不妨将其视为绘制不确定性“云团”的一种新方法。

比喻：想象你的数据是纸上的几滴墨水。
- Wasserstein 方法认为，最坏情况仅仅是另外几滴墨水。它没有填充它们之间的空间。
- Sinkhorn 方法则说：“让我们假设墨水像水一样平滑地扩散开来。”它允许最坏情况的风向成为一种平滑、连续的流动，覆盖整个天空，而不仅仅是几个点。

这是一个巨大的优势，因为现实世界的噪声（如风湍流）通常是平滑且连续的，而非由孤立的点组成。通过使用 Sinkhorn，计算机可以说：“好吧，风可能是来自东北方向的平滑微风”，而不仅仅是“北方”或“东方”。这产生了一个飞行计划，它比“平均”计划更安全，但比“最坏情况”计划更节省资源。

他们证明了什么？
本文主要完成了三件事：

数学安全性：他们证明了这些新的"Sinkhorn 云团”在数学上是表现良好的。它们是“凸”的（形状像平滑的碗，而不是锯齿状的岩石）且是“紧”的（不会无限延伸）。这很重要，因为它意味着用于设计飞行路径的数学问题实际上可以被计算机求解，而不会陷入停滞。
解决难题：他们展示了如何将“在云团中寻找最坏风向”这一复杂问题转化为标准的、可求解的数学问题（凸规划）。这意味着工程师实际上可以在真实计算机上使用这种方法。
试驾测试：他们在模拟波音 B-747 穿越真实风湍流的场景中测试了该方法。
- “平均”飞行计划坠毁了（违反了安全约束）。
- “超级安全”计划过于保守。
- 新的Sinkhorn计划既保持了飞机安全，又比“超级安全”计划节省了更多燃料。它找到了最佳平衡点。

总结
本文为工程师提供了一种新的、更好的工具来处理不确定性。通过使用Sinkhorn 差异，他们可以创建一个看似更接近现实世界（平滑且连续）的“云团”，而不是数据点的锯齿状集合。这使得他们能够设计控制系统（如自动驾驶仪），这些系统既足够安全以防止事故，又足够高效以节省能源，同时在数学上保证有效。

技术摘要：用于分布鲁棒控制的 Sinkhorn 模糊集

问题陈述

经典随机控制依赖于不确定性真实概率分布已知的假设，而这一假设在实践中往往因仅有有限样本可用而被违背。虽然鲁棒控制通过最坏情况分析来处理不确定性，但其往往导致过于保守的解。分布鲁棒优化（DRO）通过在以标称分布为中心的“模糊集”内针对最坏情况分布进行优化，提供了一种折中方案。

然而，现有的基于 Wasserstein 距离（一种标准的最优传输度量）的 DRO 方法面临显著局限。当标称分布是离散的（例如来自数据的经验分布）时，生成的最坏情况分布也是离散的。这无法捕捉许多物理噪声过程的连续特性。此外，在水样本稀缺时，利用 Wasserstein 集实现高概率保证往往需要较大的半径，从而导致过度的保守性。

本文通过提出利用Sinkhorn 模糊集的分布鲁棒控制（DRC）框架来解决这些局限。这些集通过 Sinkhorn 差异定义，Sinkhorn 差异是一种熵正则化的最优传输变体。核心挑战在于建立这些集的理论性质，并推导具有概率安全约束的线性二次控制问题的可处理重构形式。

方法论

1. Sinkhorn 模糊集的理论基础

作者首先刻画了 Sinkhorn 模糊集（记为 $\mathcal{B}_{\rho, \epsilon}(P)$ ）的几何和拓扑性质。该集包含所有满足 Sinkhorn 差异 $W_c^\epsilon(Q, P)$ 小于或等于半径 $\rho$ 的概率分布 $Q$ 。

凸性：本文证明了 Sinkhorn 模糊集是凸集。这是确保定义在这些集上的优化问题具有可处理性的关键性质。
弱紧性：在传输成本的标准假设下（具体而言，即其增长足够快），作者确立了 Sinkhorn 模糊集的弱紧性。该性质对于保证最坏情况分布的存在性以及应用极小极大定理至关重要。
与 Wasserstein 的比较：与 Wasserstein 集不同（若中心是离散的，则最坏情况分布也是离散的），Sinkhorn 差异允许最坏情况分布共享参考测度 $\nu$ 的支撑集。通过选择连续参考测度（例如高斯分布），最坏情况分布保持连续，从而提供了更现实的不确定性建模。

2. 分布鲁棒 CVaR 约束的重构

控制问题涉及条件风险价值（CVaR）约束，以确保在指定置信水平下的安全性。作者利用 Sinkhorn 集的凸性和弱紧性，在最坏情况 CVaR 的定义中交换了关于分布的上确界和关于风险阈值的下确界。

他们推导出了最坏情况期望成本和 CVaR 约束的强对偶公式。
当损失函数是分段仿射的（在多面体约束中很常见）且参考测度为高斯分布时，关于分布的无限维优化被简化为有限维凸优化问题。
这种重构在正则化参数 $\epsilon \to 0$ 的极限下恢复了已知的 Wasserstein 结果。

3. 通过系统级综合（SLS）实现可处理的控制综合

本文将这些结果应用于具有概率安全约束的有限时域线性二次控制问题。

策略限制：作者将搜索空间限制为仿射反馈策略。
SLS 参数化：与其直接优化控制器增益，他们采用了系统级综合（SLS）框架。这将设计变量转移为闭环系统响应映射（ $\Phi, \phi$ ），这些映射将扰动线性映射到状态和输入。
凸规划：通过将 SLS 参数化与 Sinkhorn 分布鲁棒约束的对偶重构相结合，作者证明了整个控制综合问题可以被表述为凸优化程序（具体而言，当 $\epsilon > 0$ 时为锥规划）。
可行性条件：本文提供了关于模糊集半径 $\rho$ 的显式条件，以确保问题可行。

主要贡献

拓扑性质：本文确立了 Sinkhorn 模糊集的凸性和弱紧性。这些结果作为独立于最优传输文献的成果呈现，为解决分布鲁棒约束控制问题奠定了基础。
可处理的重构：作者推导出了 Sinkhorn 分布鲁棒线性二次（DR-LQ）控制问题的有限维凸重构形式。该公式同时处理目标函数和概率安全约束（CVaR）。
连续支撑集刻画：这项工作突出了 Sinkhorn 集在使用连续参考测度时保持最坏情况分布连续支撑集的能力，这与基于 Wasserstein 的 DRO 的离散支撑集局限性形成对比。
数值验证：所提出的方法在受 Dryden 滤波器建模的风湍流影响的波音 B-747 飞机轨迹规划问题上进行了验证。

结果与实验发现

数值实验比较了三种控制器：

$\pi_{emp}$ ：使用经验分布（忽略不确定性）的确定性等价控制器。
$\pi_{W}$ ：基于 Wasserstein 的 DRO 控制器。
$\pi_{S}$ ：所提出的基于 Sinkhorn 的 DRO 控制器。

关键观察：

性能与保守性：经验控制器（ $\pi_{emp}$ ）表现出较高的控制成本，并在未见过的测试数据上出现显著的约束违反。两种鲁棒控制器（ $\pi_{W}$ 和 $\pi_{S}$ ）均显著优于经验基线。
降低的保守性：与 Wasserstein 控制器（ $\pi_{W}$ ）相比，Sinkhorn 控制器（ $\pi_{S}$ ）表现出降低的保守性。虽然 $\pi_{S}$ 在非常小的半径下比 $\pi_{W}$ 有略高的约束违反率，但它始终满足所需的安全阈值，同时实现了显著更低的控制成本。
轨迹行为：终端状态的可视化显示，与 $\pi_{W}$ 相比， $\pi_{S}$ 的轨迹更靠近可行区域的边界，这表明 Sinkhorn 模糊集允许在不妨碍安全保证的情况下，更不保守地利用安全裕度。
计算复杂度：该问题通过对偶变量 $\lambda$ 使用黄金分割搜索求解，每次迭代求解一个锥优化问题。该方法对于所测试的系统维度在计算上是可行的。

意义与主张

本文主张，所提出的方法在数据稀缺时，为控制设计中平衡鲁棒性与性能提供了一种原则性的方法。通过利用 Sinkhorn 差异，该方法：

避免离散伪影：它防止最坏情况分布坍缩为离散点集，从而更好地捕捉物理噪声的连续特性。
整合先验知识：它允许通过参考测度 $\nu$ 将先验知识与经验数据平滑地整合。
启用凸优化：即使在存在安全约束的情况下，它也将潜在不可处理的无限维分布鲁棒问题转化为可处理的凸规划问题。

作者将这项工作定位为迈向更有效的分布鲁棒控制的一步，特别是在安全关键应用中，安全保证与性能之间的权衡至关重要。他们指出，虽然当前工作专注于线性系统和仿射策略，但此处确立的 Sinkhorn 集理论性质是为未来扩展到非线性系统和基于梯度的求解方法奠定基础。