Closing the gap: Maz'ya-Shaposhnikova and asymptotics of fractional perimeters

技术摘要：弥合鸿沟：Maz'ya-Shaposhnikova 公式与分数阶周长的渐近行为

问题陈述
Gagliardo 半范数渐近行为的研究是非局部分析的核心，它在分数阶 Sobolev 空间 $W^{s,p}$ 与经典空间之间架起了桥梁，当参数 $s$ 趋近于 0 或 1 时尤为关键。经典的 Maz'ya-Shaposhnikova (MS) 公式 [36] 描述了当 $s \to 0^+$ 时函数 $u \in L^p(\mathbb{R}^d)$ 的极限，指出 $s [u]_{W^{s,p}}^p$ 收敛于 $L^p$ 范数的某个倍数。然而，该公式依赖于函数 $u$ 在无穷远处消失（即 $u \in L^p(\mathbb{R}^d)$）的结构假设。这一限制人为地抑制了函数的“尾部行为”，而这恰恰是当 $s \to 0^+$ 时分数阶核的非局部性质最为显著的区域。

相反，近期关于集合 $E$ 的特征函数的分数阶周长渐近行为 [20] 的研究表明，如果一个集合在无穷远处具有非零质量，其极限将涉及一个代表“非局部尾部”的项 $\alpha_1(E)$。这表明，对于不属于 $L^p(\mathbb{R}^d)$ 的一般函数，极限不应仅仅是局部 $L^p$ 范数的简单倍数，而应是有界区域 $\Omega$ 内函数值与其在“无穷远处”行为之间的相互作用能。

方法论
作者聚焦于希尔伯特情形 $p=2$，并在有界 Lipschitz 区域 $\Omega$ 上引入了局部化的 Gagliardo 半范数：
$$[u]_{W^{s,2}(Q\Omega)}^2 = \iint_{Q\Omega} \frac{|u(x) - u(y)|^2}{|x-y|^{d+2s}} \, dx \, dy,$$
其中 $Q\Omega = (\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d) \setminus (\Omega^c \times \Omega^c)$。该泛函计入了至少涉及 $\Omega$ 中一个点的相互作用，分离了内部 - 内部、内部 - 外部和外部 - 内部的相互作用能，同时忽略了外部 - 外部的贡献。

核心方法论创新在于定义了可测函数 $u$ 的无穷远 $p$-质量：
$$\alpha_p(u) := \lim_{s \to 0^+} s \int_{B_1^c(0)} \frac{u(y)}{|y|^{d+sp}} \, dy.$$
作者证明了该量具有平移不变性，且对于可能非全局可积的函数是良定义的。他们将局部化半范数分解为四项：

1. 内部 - 内部：证明当 $s \to 0^+$ 时该项消失（引理 2.5）。
2. 内部 - 外部（平方项）：收敛于涉及常数函数 1 的质量以及 $u^2$ 在 $\Omega$ 上积分的项。
3. 交叉项：涉及乘积 $u(x)u(y)$，利用 $u$ 的正部与负部（$u_+, u_-$）进行展开，并通过无穷远质量进行分析。
4. 外部 - 内部（平方项）：收敛于涉及 $u^2$ 的质量以及 $\Omega$ 体积的项。

证明依赖于直接估计、分数阶 Hardy 不等式以及度量测度空间中 MS 公式的推广版本（来自 [28] 的命题 2.3）的组合，并进行了调整以处理由函数值本身加权的测度。

主要贡献与结果

1. 广义 Maz'ya-Shaposhnikova 公式（定理 1.3）：
   本文证明了对于具有有限无穷远质量的 $u \in L^2_{\text{loc}}(\mathbb{R}^d)$（具体指 $\alpha(u_+), \alpha(u_-), \alpha(u^2)$ 存在），局部化半范数的极限为：
   $$\lim_{s \to 0^+} \frac{s}{2} [u]_{H^s(Q\Omega)}^2 = \sum_{k=0}^2 \binom{2}{k} (-1)^k \alpha(u^k) \int_\Omega u^{2-k}(x) \, dx.$$
   该公式统一了经典的 MS 公式（当 $u \in L^2(\mathbb{R}^d)$ 时恢复，此时对于 $k \ge 1$ 有 $\alpha(u^k)=0$）和分数阶周长的渐近行为。

2. 几何解释（定理 2.11）：
   对于当 $|x| \to \infty$ 时存在径向极限 $u_\infty(\theta)$ 的函数 $u$，极限泛函被明确表征为 $\Omega$ 内 $u$ 的值与其在无穷远处的极限之间的相互作用能：
   $$\lim_{s \to 0^+} \frac{s}{2} [u]_{H^s(Q\Omega)}^2 = \frac{1}{2} \int_\Omega \int_{S^{d-1}} |u(x) - u_\infty(\theta)|^2 \, d\mathcal{H}^{d-1}(\theta) \, dx.$$
   这阐明了该极限并非范数，而是衡量函数与其在无穷远处行为偏差的能量。

3. $\Gamma$-收敛（定理 3.4）：
   作者确立了泛函序列 $F_s(u, \Omega) = \frac{s}{2}[u]_{H^s(Q\Omega)}^2$ 关于弱-$L^2(\Omega)$ 拓扑 $\Gamma$-收敛于定理 1.3 中识别的泛函。该结果意味着极限泛函是描述渐近分数阶周长的集合泛函（公式 1.6）的下半连续包络。

4. 推广至度量测度空间（定理 4.5）：
   结果被推广至一般的度量测度空间 $(M, d, m)$，前提是卷积核 $\rho_n$ 满足特定假设且存在无穷远质量。这包括在 Carnot 群上的应用。

5. 与高斯周长的区别（注记 4.9）：
   本文指出，推导出的渐近行为不适用于高斯分数阶周长。在高斯设定下，测度是有限的，且核不会以相同方式在无穷远处集中质量；因此，极限取决于集合的总测度，而非局部边界相互作用。

意义与主张
本文声称通过提供一个能够容纳具有非零无穷远质量的函数的统一框架，从而“弥合了”经典 Maz'ya-Shaposhnikova 公式与非局部周长渐近行为之间的鸿沟。

• 统一性：所识别的极限泛函对于全局可积函数退化为经典的 $L^2$ 范数，并恢复了集合特征函数的 $s$-分数阶周长的逐点极限。
• 结构洞察：通过引入“无穷远质量”的概念，作者严格刻画了当 $s \to 0^+$ 时主导能量的长程相互作用。他们证明了极限是区域内部与“地平线”（无穷远）之间的相互作用能，而非局部范数。
• 稳健性：结果表明该结论在 $\Gamma$-收敛意义下成立，确保了弱收敛下的稳定性，并推广至度量测度设定，涵盖了如 Carnot 群等空间。

作者明确指出，一般 $p \neq 2$ 的情形需要不同的方法，是配套论文 [13] 的主题，并指出对于奇数 $p$，可能无法获得类似于此处使用的二项式展开的封闭公式。