Efficient GMM and Weighting Matrix under Misspecification

技术摘要：误设下的有效 GMM 与加权矩阵

1. 问题陈述
广义矩估计（GMM）是过度识别模型中进行估计与推断的标准框架。在设定正确的情况下，有效加权矩阵是矩方差 - 协方差矩阵的逆，从而在标准 GMM 估计量中产生最小的渐近方差（Hansen, 1982; Chamberlain, 1987）。然而，由于工具变量无效、函数形式错误或处理效应异质性，经济模型经常存在误设。

在误设情况下，GMM 估计量收敛于“伪真值”（$\theta_W$），定义为总体目标函数的最小化点。关键在于，在误设下，加权矩阵 $W$ 的选择不仅影响效率，而且决定了目标参数 $\theta_W$ 本身。现有文献（如 Hall 和 Inoue, 2003; Hansen 和 Lee, 2021）已建立了使用误设稳健标准误对 $\theta_W$ 进行有效推断的程序。然而，仍存在一个缺口：在误设下，标准 GMM 估计量对于给定的 $\theta_W$ 是否有效，以及是否存在一类估计量能在相同目标下实现更小的渐近方差。

2. 方法论
本文提出了一类基于重中心化增广矩条件的新估计量。

• 增广矩： 作者观察到，标准误设 GMM 估计量的影响函数既依赖于原始矩条件 $g(X_i, \theta)$，也依赖于其雅可比矩阵 $G(X_i, \theta)$。本文构建了一个增广矩向量 $\psi(X_i, \theta) = [g(X_i, \theta)', \text{vec}(G(X_i, \theta)')']'$。
• 重中心化： 为确保总体矩在伪真值 $\theta_W$ 处为零，增广矩通过其总体期望进行重中心化：$\tilde{\psi}(X_i, \theta) = \psi(X_i, \theta) - E[\psi(X_i, \theta_W)]$。
• ME 估计量： 本文定义了一类求解 $\Lambda \tilde{\psi}_n(\hat{\theta}) = 0$ 的广义 M 估计量（或 Z 估计量）。通过应用最优估计方程理论（Godambe, 1960），本文推导出了最优加权矩阵 $\Lambda^*_W = \Gamma(\theta_W)' \Sigma(\theta_W)^{-1}$，其中 $\Gamma$ 是增广矩的雅可比矩阵，$\Sigma$ 是其方差。
• 误设有效（ME）估计量： 使用 $\Lambda^*_W$ 的估计量被称为“误设有效”（ME）估计量。它在所有对同一 $\theta_W$ 一致的该类估计量中，实现了最小的渐近方差。
• 可行实施： 由于神谕 ME 估计量需要未知的总体重中心化项，本文提出了三种可行的替代方案：
  1. 双重重中心化（DR）自助法： 一种自助法程序，联合扰动原始矩和雅可比矩阵，并在初步 GMM 估计值处评估其样本类比时，对两者同时进行重中心化。这模拟了误设下标准 GMM 的极限分布，并在设定正确时将 Hall 和 Horowitz（1996）的重中心化自助法作为特例包含在内。
  2. 分样本 ME 估计量： 一种受 Angrist 和 Krueger（1995）启发的程序，使用样本的一半来估计重中心化项（伪真矩和雅可比期望），使用另一半来构建最终的 ME 估计。
  3. 神谕界报告： 即使点估计不可行，本文表明神谕 ME 估计量的渐近方差 $V_{ME}(W) = (\Gamma' \Sigma^{-1} \Gamma)^{-1}$ 可以被一致估计并作为“效率前沿”报告。

3. 关键理论结果

• 标准 GMM 的低效性： 研究表明，标准误设 GMM 估计量是增广 M 估计量的一个特例，但通常并非最优。它未能利用包含在雅可比矩阵变异中的信息。
• 线性模型简化： 在线性模型中，ME 估计量的渐近方差简化为 $V_{ME} = (G' \Sigma_{11,2}^{-1} G)^{-1}$，其中 $\Sigma_{11,2}$ 是原始矩在雅可比矩阵上回归后的残差方差。
  • 这意味着对于线性模型，ME 估计量的渐近方差对 $W$ 的选择是不变的。虽然不同的 $W$ 针对不同的 $\theta_W$，但任何特定 $\theta_W$ 的估计精度由相同的效率界决定。
  • 本文指出，传统的“有效 GMM"方差公式 $(G'W G)^{-1}$（其中 $W = \Sigma_{11}^{-1}$）对于误设下的标准 GMM 而言过小，这解释了实践中经常观察到的标准误向下偏差。
• 均匀极小极大界： 本文在加权矩阵类 $\mathcal{W}$ 上建立了均匀局部渐近极小极大界。这些界代表了如果研究者对 $W$（从而 $\theta_W$）的具体选择持不可知态度，估计量必须面对的最坏情况方差。ME 估计量达到了这些界。
• 自助法有效性： 证明了双重重中心化（DR）自助法在误设下具有渐近有效性，能正确近似标准 GMM 估计量的抽样变异，而标准的 Hall-Horowitz 自助法未能捕捉到由误设引起的雅可比变异项。

4. 实证与模拟结果

• 蒙特卡洛模拟：
  • 模拟证实，与标准 GMM 相比，神谕 ME 估计量具有显著更小的标准差和置信区间长度，特别是在加权矩阵远离有效（例如 $W=I$）或识别程度中等时。
  • DR 自助法置信区间提供了有效的覆盖率（接近名义上的 95%），并且通常比基于解析误设稳健标准误的区间短 10-17%。
  • 分样本估计量表现良好，尽管由于样本分割导致标准误略大。
• 实证应用：
  • Card (1995) 教育回报率： 即使 Hansen J 检验未拒绝，ME 效率界也比传统和误设稳健标准误小约 15-20%。
  • Angrist 和 Krueger (1991) 出生季度： 发现了类似的结果。ME 界明显比稳健标准误更紧，特别是在使用单位矩阵（$W=I$）作为加权方案时。结果强调，虽然点估计在不同设定下可能相似，但利用雅可比信息带来的效率提升是巨大的。

5. 意义与主张

本文声称提供了一个理论和实践框架，以改善误设下过度识别 GMM 模型的推断。其主要贡献包括：

1. 重新定义效率： 它挑战了标准 GMM 估计量在误设下是最优的观点，表明利用增广矩（矩 + 雅可比）的一类估计量可以在相同的伪真值下实现严格更小的渐近方差。
2. 效率前沿： 它提供了一种可行的度量（ME 界），研究人员可将其与标准误一同报告，以表明如果充分利用重中心化信息，可能获得的效率提升。这为给定模型误设情况下的“最佳可能”精度提供了一个透明的基准。
3. 稳健推断工具： 它引入了双重重中心化自助法和分样本估计量作为可行的、有效的标准 GMM 推断替代方案，这些方案考虑了误设下估计量的特定渐近行为。
4. 标准误的澄清： 它为误设设定下标准有效 GMM 标准误的向下偏差提供了理论解释，表明传统公式仅对神谕 ME 估计量有效，而对标准 GMM 无效。

本文明确将其范围限制在具有固定加权矩阵的一步 GMM 估计量，并假设满秩识别，将迭代 GMM 和弱识别的扩展留作未来研究方向。它并不声称解决“真实”因果参数的识别问题，而是专注于对标准 GMM 估计量所针对的伪真值进行有效且改进的推断。