Synthesis of Limit Cycles and Reference Tracking via Switching Affine Systems

技术摘要：基于切换仿射系统的极限环综合与参考轨迹跟踪

问题陈述
周期性行为广泛存在于从生物学到工程学的各个领域，然而对非线性振荡器（例如 Kuramoto 模型、Van der Pol 振荡器）的数学分析仍受到限制。对极限环的表征，特别是关于其唯一性和稳定性的表征，通常仅在特殊情况下可行。现有的数据驱动技术（如机器学习）虽然可以近似周期性动力学，但通常缺乏形式化验证所需的结构属性。此外，以往利用切换或分段仿射系统（PAS）近似极限环的方法，主要局限于平面（$\mathbb{R}^2$）环境下的简单两区域划分，或者无法在高维空间中提供全局稳定性的保证。

本研究的主要目标有两个：

1. 开发一种综合方法，利用任意维度（$\mathbb{R}^{n_x}$）下的切换仿射系统来近似非线性常微分方程（ODEs）的极限环，并确保生成的极限环具有全局稳定性。
2. 为此类系统设计参考轨迹跟踪控制器，使其能够渐近收敛到周期性轨迹，即使参考系统本身缺乏全局稳定性保证。

方法论

状态空间划分与动力学综合
所提出的方法始于沿非线性系统稳定极限环采集的一组采样状态点 $\mathcal{F}$。状态空间被划分为有限数量的多胞形 $P_i$。与以往仅适用于平面的方法不同，该方法通过定义一个公共中心点 $x_s$ 以及一组在 $x_s$ 处相交的边界平面（或在 2D 中的射线），来处理任意维度（$n_x = 2, 3, >3$）。

• 对于 $n_x=2$，从 $x_s$ 出发穿过选定的采样点绘制直线以定义区域。
• 对于 $n_x \geq 3$，首先确定一个超平面以最小化与采样点的距离，从而定义一条穿过 $x_s$ 的交线 $\Gamma$。随后，由包含 $\Gamma$ 和特定采样点的平面构成区域。

每个区域 $P_i$ 内的动力学被建模为 $\dot{x} = A_i x + b_i + Bu(t)$。综合过程被表述为一个带约束的数值优化问题。其目标是最小化模型轨迹与采样数据点之间的误差。至关重要的是，优化过程强制实施收缩性以保证全局稳定性：

1. 连续性：向量场在切换边界处必须连续。
2. 公共李雅普诺夫函数：必须存在一个正定矩阵 $Q$，使得对于所有区域都有 $A_i^T Q + Q A_i \prec 0$。这确保系统是收缩的，从而保证任何轨迹都收敛到与输入信号 $u(t)$ 具有相同周期的唯一极限环。

为了处理成本函数中矩阵指数的非线性，该方法采用泰勒级数近似和对策（例如确保区域间的过渡时间较短，并限制 $A_i$ 的奇异值），以在不过度增加计算复杂度的情况下保持精度。

参考轨迹跟踪
针对跟踪问题，本文探讨了已识别的周期性参考轨迹可能不具备全局稳定性的场景（例如，如果在识别过程中为了提高近似精度而省略了稳定性约束）。控制律设计为 $u_c(t) = u_r(t) + K_i x_c(t) + w_i - (K_j x_r(t) + w_j)$。
为了实现渐近跟踪（$\lim_{t\to\infty} ||x_c(t) - x_r(t)|| = 0$），作者提出了一种使用多个李雅普诺夫函数而非单一公共函数的综合方案。

• 为包含参考轨迹的每个区域定义一个分段二次李雅普诺夫函数 $V_i$。
• 推导稳定性条件，以确保李雅普诺夫函数在区域内严格递减，并在切换边界处保持有界，前提是每个区域的驻留时间超过最小阈值 $T_{min}$。
• 该方法放宽了对公共矩阵 $Q$ 的要求，与依赖单一李雅普诺夫函数的方法相比，提供了更不保守的收敛结果。

主要贡献

1. 高维综合：本文将基于切换仿射系统的极限环近似方法，从平面的两区域划分扩展到了具有通用划分的更高维状态空间（$\mathbb{R}^{n_x}$）。
2. 全局稳定性保证：通过在综合优化中利用收缩原理并强制实施公共李雅普诺夫函数，该方法保证生成的极限环是全局稳定且唯一的。
3. 基于多李雅普诺夫函数的参考轨迹跟踪：这项工作引入了一种用于周期性切换仿射系统的跟踪控制器，该控制器利用多个李雅普诺夫函数。据称，这是此类技术在周期性参考轨迹跟踪中的首次应用，为公共李雅普诺夫方法提供了一种更不保守的替代方案。
4. 构造性划分规则：本文提供了基于采样数据对 2D、3D 及更高维状态空间进行划分的具体几何规则，确保生成的多胞形与综合约束兼容。

结果
所提出方法的有效性通过数值示例得到证明：

• 2D 和 3D 近似：综合方法成功地在 2D 和 3D 空间中从采样数据重构了极限环。仿真表明，从各种初始条件（包括极限环内部和外部）出发的轨迹都收敛到了唯一的、全局稳定的极限环。提高矩阵指数泰勒近似的阶数显著降低了近似误差。
• 参考轨迹跟踪：一个 2D 数值示例展示了跟踪控制器渐近跟随周期性参考轨迹的能力。参考系统被明确构造为缺乏全局稳定性保证（违反公共李雅普诺夫条件），然而受控系统仍成功从遥远的初始状态跟踪了参考轨迹，且跟踪误差收敛至零。

意义与主张
作者声称，这项工作解决了振荡现象系统研究中的一个关键空白，特别是在生物昼夜节律等应用中，理解稳定性和同步性至关重要。通过提供一种可处理的模型类（切换仿射系统），该系统既保留了关键的动力学属性（稳定性、唯一性），又允许进行严格的验证，从而促进了对复杂非线性振荡器的分析。

本文谦逊地指出，虽然优化问题是非凸的且不能先验地保证全局解，但任何可行解都会产生收敛轨迹。此外，作者承认，对公共李雅普诺夫函数的要求可能会限制近似精度；因此，他们提出了一种两步策略：首先在不施加严格稳定性约束的情况下识别模型以最大化数据拟合度，然后利用多李雅普诺夫函数方法综合跟踪控制器以确保收敛。未来的工作被确定为探索无需公共中心点的划分方案以及耦合多个振荡器。