Optimal regularity at the free boundary in one-dimensional first-order mean field games

技术摘要：一阶一阶平均场博弈自由边界处的最优正则性

问题陈述
本文研究了一维具有紧支集密度和幂律耦合的一阶平均场博弈（MFG）解的正则性。该系统由 Hamilton–Jacobi 方程和连续性方程控制：
$$\begin{cases} -u_t + \frac{1}{2}u_x^2 = m^\theta & \text{在 } \mathbb{R} \times (0, T) \text{ 中}, \\ m_t - (m u_x)_x = 0 & \text{在 } \mathbb{R} \times (0, T) \text{ 中}, \end{cases}$$
其中 $\theta > 0$，$m$ 为代理密度，$u$ 为值函数。研究聚焦于密度 $m$ 具有紧支集的机制，这在正相（$m>0$）和零相之间形成了一个自由边界。核心问题是确定值函数 $u$、压力 $p = m^\theta$ 以及自由边界曲线本身在密度消失的界面处的精确正则性。

先前的工作已确立解具有有限传播速度，且自由边界是 $C^{1,1}$ 的。然而，压力和值函数在自由边界两侧的确切正则性仍属未解之谜。文中指出，对于显式的自相似 Barenblatt 型解，压力在边界处是 Lipschitz 连续但非 $C^1$ 的，而值函数是 $C^{1,1/2}$ 的但不够光滑。本文的目标是证明这些界限是尖锐的，并且在初始数据的标准非退化假设下通常能够达到。

方法论
证明在拉格朗日坐标下进行，利用奇异变量变换将自由边界问题转化为退化椭圆方程的内部正则性问题。

1. 拉格朗日表述：系统利用特征映射 $\gamma(y,t)$ 重新表述，其中 $y$ 为初始坐标。自由边界对应于拉格朗日空间中的固定端点 $y=0$ 和 $y=b$。流 $\gamma$ 满足一个时空退化椭圆方程：
   $$\gamma_{tt} + \theta p_0 \gamma_y^{-(2+\theta)} \gamma_{yy} = p_0' \gamma_y^{-(1+\theta)}.$$
   此处，退化源于初始压力 $p_0(y) \sim y$ 在端点处的线性消失。

2. 奇异变量变换：为了处理退化，作者引入了平方根距离坐标 $y = r^2/4$。该变换将 $p_0$ 的线性消失转化为 $r$ 的二次行为。因此，退化被重述为有效维数 $N = 4 + 2/\theta$ 中的径向权重 $W(r) \sim r^{N-1}$。该方程变为带有权重的散度形式方程，该权重模拟了 $N$ 维中的径向雅可比行列式。

3. 轴的去除性：关键一步是确立在加权索伯列夫空间中“径向轴”（$r=0$）是可去除的，因为有效维数 $N > 2$。这使得解可以通过关于该轴的偶反射进行延拓，而无需施加额外的边界条件。因此，问题被简化为研究加权椭圆方程偶解的内部正则性。

4. 正则性提升（Bootstrap）：

   • 切向正则性：利用针对偶解的最新加权 Schauder 估计（Sire–Terracini–Vita），作者确立了轴上解的迹在时间上是光滑的（$C^\infty$）。这意味着自由边界曲线 $\gamma_L(t)$ 和 $\gamma_R(t)$ 是光滑的。
   • 法向正则性：为了恢复空间变量的正则性，作者采用了“正则 - 奇异下降”法。通过分析原始拉格朗日变量 $y$ 中的方程，问题被简化为正则 - 奇异常微分方程（ODE）结构。奇异齐次解的不可积性确保了解继承源项的正则性，从而允许推导高阶法向导数。

主要贡献与结果
在初始压力 $p_0$ 的标准非退化假设下（具体而言，$p_0$ 在边界处线性消失且为 $C^{1,\sigma}$），本文确立了以下最优正则性结果（定理 1.1）：

• 自由边界光滑性：自由边界曲线 $\gamma_L(t)$ 和 $\gamma_R(t)$ 在时间上是 $C^\infty$ 的。
• 压力正则性：压力 $p = m^\theta$ 在自由边界处全局 Lipschitz 连续（$W^{1,\infty}$）。在正相内部，如果初始压力 $p_0$ 是 $C^{\ell,\sigma}$ 的，则 $p$ 直到自由边界也是 $C^{\ell,\sigma}$ 的。
• 值函数正则性：值函数 $u$ 全局为 $C^{1,1/2}$。在正相内部，如果 $p_0$ 是 $C^{\ell,\sigma}$ 的，则 $u$ 直到自由边界是 $C^{\ell+1,\sigma}$ 的。
• 尖锐性：这些结果证实了 $p$ 的 Lipschitz 界限和 $u$ 的 $C^{1,1/2}$ 界限是尖锐的且无法改进，与显式自相似解的行为一致。

意义
本文解决了关于具有紧支集的一阶平均场博弈正则性的未决问题，此前这些问题在文献 [4] 中尚未解决。它展示了这些平均场博弈与多孔介质方程（PME）之间深刻的结构类比，其中压力的线性消失和非退化假设同样驱动了自由边界的正则性。然而，本文强调，平均场博弈的语境用 Hamilton–Jacobi/连续性结构取代了 PME 的抛物耗散。

主要的方法论贡献是成功地将针对偶解的加权 Schauder 估计应用于源自平均场博弈的退化椭圆问题。通过将自由边界退化解释为更高有效维数中可去除的径向轴，作者架起了自由边界问题与退化方程内部正则性理论之间的桥梁。这为在密度于边界处消失的系统中建立最优正则性提供了一个严格的框架。