A Semi-smooth Newton Method for the Constrained Optimal Control of Continuous-Time Linear Systems

技术摘要：连续时间线性系统约束最优控制的半光滑牛顿法

问题陈述
本文解决了直接在无限维函数空间内求解连续时间线性系统约束最优控制问题（OCP）的挑战。具体的问题表述旨在最小化一个成本泛函，该泛函包含终端成本 $J(x(T))$ 和增量成本 $\ell(x(t), u(t))$ 的积分，受限于线性动力学 $\dot{x} = Ax + Bu$、初始条件以及逐点不等式约束 $c(x(t), u(t)) \leq 0$。作者专注于有限时域、线性二次型问题，其中状态和输入轨迹属于索伯列夫空间和勒贝格空间（$W^{1,\infty}$ 和 $L^\infty$），从而在标准凸性和约束规范假设下确保问题的适定性。

方法论
所提出的方法是一种间接方法，它将最优控制问题重新表述为巴拿赫空间中的求根问题，而不是像直接方法那样首先对系统进行离散化。该方法论通过以下步骤进行：

1. 基于 NCP 函数的 KKT 重构：将最优性的 Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 必要条件嵌入到一个非光滑互补函数中。具体而言，涉及对偶变量 $\mu$ 和约束 $c$ 的互补条件被一个非线性互补问题（NCP）函数 $\phi(a, b) = 0$ 所替代，该函数等价于 $a, b \geq 0, ab=0$。作者使用了“最小”函数或 Fischer-Burmeister 函数。这将最优性条件转化为一个非光滑方程 $F(z) = 0$，其中 $z = (x, u, \lambda, \mu)$ 代表状态、输入、协态和对偶变量。

2. 半光滑牛顿迭代：求根问题 $F(z)=0$ 使用半光滑牛顿法求解。该迭代过程通过求解涉及 $F$ 的 Clarke 广义雅可比矩阵的线性化方程来生成更新 $\tilde{z}$。在温和的正则性条件下，该方法被证明能以超线性速度收敛到解。

3. 基于 Riccati 的牛顿步求解器：一个核心的技术贡献是推导了一种计算高效的方法来求解牛顿步方程。作者证明，由线性化产生的仿射两点边值问题可以重述为一个无约束的、时变的线性二次型调节器（LQR）问题。

   • 不等式约束被有效地作为“障碍”成本项纳入该子问题中，其中成本矩阵（$Q, R, S$）和线性项（$q, r$）在每次迭代时根据当前的约束乘子和 NCP 函数的广义导数进行重新加权。
   • 这种重构使得牛顿更新可以通过向后求解微分 Riccati 方程，随后向前积分状态轨迹来计算。这利用了高效的、标准的常微分方程（ODE）求解器，而无需复杂的离散化方案。

主要贡献

• 函数空间中的间接方法：本文详细阐述了一种新颖的间接算法，该算法直接在连续时间函数空间中运行，避免了直接方法中常见的“先离散化后求导”的方法。
• 约束问题的 Riccati 积分：主要贡献在于表明，约束 OCP 的半光滑牛顿法中固有的复杂两点边值问题可以通过微分 Riccati 方程解析求解。这填补了理论半光滑牛顿算法（例如 Gerdts, 2008）与无约束方法（如 PRONTO）中使用的高效实现策略之间的空白。
• 自适应成本重加权：该方法将牛顿步解释为一种自适应搜索，其中成本函数的线性和二次权重根据约束乘子进行迭代更新，从而有效地处理约束，而无需传统意义上的活动集识别或内点障碍。

结果
作者通过对线性化车辆模型（代表 2017 款宝马 740i）的紧急变道机动进行数值仿真来验证该方法。该系统受到前/后侧偏角和转向角的约束。

• 收敛性：算法表现出超线性收敛。残差向量的 $L^2$ 范数在前 10 次迭代内减少了四个数量级以上。
• 稳定性：该方法收敛至底层 ODE 求解器的容差（机器精度），证实了停止准则是定义良好的。
• 比较：使用“最小”函数和 Fischer-Burmeister NCP 函数的仿真显示了相似的收敛行为，尽管主要轨迹图使用的是 Fischer-Burmeister 函数。

意义与主张
本文声称，这项工作将半光滑牛顿算法的理论鲁棒性与基于 Riccati 的求解器的计算效率相结合。通过将约束问题重构为一系列无约束 LQR 子问题，作者提供了一种鲁棒的间接方法，利用广泛可用的 ODE 求解器。其意义在于为那些无限时域设置或显式时间优化（例如灵活结束时间）使直接方法变得具有挑战性的问题，提供了一种实用且高效的替代方案。作者指出，虽然当前工作专注于线性系统，但未来的研究旨在将此框架扩展到非线性系统。