Middle convolution for Lie algebra representations

技术摘要：李代数表示的中卷积

问题陈述
中卷积函子最初由 Katz 引入，用于研究穿孔黎曼球面上的局部系统，已成为研究常微分方程、刚性局部系统以及加性 Deligne-Simpson 问题的基本工具。尽管该函子的代数版本已针对 Fuchsian 系统（Dettweiler-Reiter）和超平面排列补集上的对数联络（Haraoka）建立，但涵盖这些构造的统一李代数框架此前尚属缺失。具体而言，亟需直接在作为辫群和排列补集基本群无穷小模拟的李代数模范畴上定义中卷积函子，这些李代数包括自由李代数、Drinfeld-Kohno 李代数和全纯李代数。

方法论
作者在半直积李代数 $L_n \rtimes_{\theta_g} \mathfrak{g}$ 的泛包络代数上的有限维模范畴上，构造了一个“中卷积函子”（$mc_\lambda$）。其中，$L_n$ 是自由李代数，$\mathfrak{g}$ 是通过源自无穷小辫作用的同态 $\theta_g$ 作用于 $L_n$ 的李代数。

该构造分以下步骤进行：

1. 形变 Long-Moody 函子：作者首先引入了 Long-Moody 函子的单参数形变（$LM^{df}_\lambda$）。虽然经典的 Long-Moody 函子利用群环的增广理想从更大的辫群构造辫群表示，但其无穷小李代数模拟是通过第一同调群 $H_1(L_{n+1}, V \otimes K_\lambda)$ 定义的，其中 $K_\lambda$ 是由标量 $\lambda$ 定义的一维模。
2. 中卷积的定义：中卷积函子 $mc_\lambda$ 定义为特定映射的余核，该映射涉及同调群 $H_1(L(x_i), V \otimes K_\lambda)$ 的直和映射到 $H_1(L_{n+1}, V \otimes K_\lambda)$。该构造有效地商掉了“平凡”子模和不变子空间，类似于几何中卷积。
3. 推广与相容性：本文确立了该李代数函子推广了 Long-Moody 函子（在极限 $\lambda \to 0$ 下），并在 $\mathfrak{g}$ 为平凡时恢复了 Dettweiler-Reiter 加性中卷积。
4. 几何实现：对于超平面排列 $\mathcal{A}$ 补集的全纯李代数 $h(M(\mathcal{A}))$，作者利用对数 Pfaffian 系统与全纯李代数模之间的等价性（Kohno 定理）。通过考虑排列的 $Y$-闭包（其中 $Y$ 是通过原点的直线），作者证明了李代数中卷积对应于 Haraoka 关于排列 $Y$-闭包上对数联络的中卷积。
5. Riemann-Hilbert 对应：最后，本文结合 de Rham 函子与范畴等价性，建立了李代数中卷积与局部系统的拓扑中卷积（$MC_\chi$）之间的对应关系。

主要贡献与结果

• 李代数中卷积的定义：本文将 $mc_\lambda$ 定义为 $U(L_n \rtimes_{\theta_g} \mathfrak{g})\text{-mod}$ 上的自函子。已证明它是无穷小 Long-Moody 函子的自然推广。
• 已知构造的恢复：
  • Long-Moody：函子 $mc_\lambda$ 通过形变 Long-Moody 函子 $LM^{df}_\lambda$ 分解。在 $\mathfrak{g} = P_n$（Drinfeld-Kohno 代数）且 $\lambda = 0$ 的情况下，$mc_0$ 恢复了原始的 Long-Moody 函子。
  • Dettweiler-Reiter：当 $\mathfrak{g} = \{0\}$ 时，函子 $mc_\lambda$ 恢复了 Fuchsian 系统的 Dettweiler-Reiter 加性中卷积。
  • Haraoka：对于超平面排列补集的全纯李代数，$mc_\lambda$ 与 Haraoka 关于排列 $Y$-闭包上对数联络的中卷积相容。
• 复合律：本文证明了中卷积函子满足复合律 $mc_\lambda \circ mc_\mu \cong mc_{\lambda+\mu}$ 以及 $mc_{-\lambda} \circ mc_\lambda \cong \text{id}$，前提是模满足特定的通用性条件（特征值的不可约性和非共振条件）。这反映了 Katz 原始函子的基本性质。
• 不可约性的保持：已证明，如果模 $V$ 作为 $U(L_n)$-模是不可约的，那么 $mc_\lambda(V)$ 保持不可约。
• Riemann-Hilbert 对应：定理 5.2 建立了应用李代数中卷积（随后应用 de Rham 函子）的结果与应用局部系统拓扑中卷积（$MC_\chi$）的结果之间的同构，前提是特征标 $\chi$ 与 $\lambda$ 通过 $\chi(1) = \exp(2\pi i \lambda)$ 相关联，且满足某些特征值条件。

意义
本文为不同语境下的中卷积运算提供了一个统一的代数框架：辫群表示、Fuchsian 系统以及超平面排列补集上的对数联络。通过直接在李代数模上表述该运算，它弥合了 Long-Moody 函子的范畴研究与刚性局部系统的解析理论之间的鸿沟。在此设定下建立 Riemann-Hilbert 对应，证实了李代数构造是拓扑中卷积正确的无穷小对应物，从而将中卷积技术的应用范围扩展到了全纯李代数的表示理论以及具有对数奇点的微分方程的研究。