技术摘要：可观测 Wasserstein 距离

问题陈述

本文解决的主要挑战是：在大规模非欧几里得数据集上，计算概率测度间精确 Wasserstein 距离的计算不可行性。虽然最优传输（OT）理论为比较分布提供了严谨的框架，但精确计算通常随数据点数量呈立方或二次方增长，使其在大规模数据集中不切实际。

现有的近似方法，如切片 Wasserstein 距离，通过将测度投影到一维子空间来提高计算效率。然而，这些方法依赖于欧几里得空间（$\mathbb{R}^d$）的线性结构，利用内积和范数来定义投影方向。许多感兴趣的数据集——如 3D 形状、图、蛋白质结构和函数曲面——存在于一般的度量空间中，这些空间缺乏线性和内积。因此，标准的切片 Wasserstein 方法无法直接应用，亟需一种在一般波兰度量空间中提供 Wasserstein 距离下界的计算可行替代方案。

方法论

可观测 Wasserstein 框架

作者引入了可观测 Wasserstein 距离，这是一个将切片概念推广到任意度量空间 $(X, d)$ 的框架。该方法不是将测度投影到线性子空间，而是利用度量可观测函数将概率测度投影到实数轴上。

1. 度量可观测函数：可观测函数定义为满足 $|f(x) - f(y)| \leq d(x, y)$ 的 1-Lipschitz 函数 $f: X \to \mathbb{R}$。所有此类函数的集合记为 $\Lambda(X)$。
2. 推前测度：对于测度 $\mu \in \mathcal{P}(X)$ 和可观测函数 $f$，推前测度 $f_\sharp \mu$ 定义在 $\mathbb{R}$ 上。
3. 距离定义：可观测 Wasserstein $p$-距离 $\theta_p(\mu, \nu)$ 定义为所有可能可观测函数下推前测度间 Wasserstein 距离的上确界：
   $$\theta_p(\mu, \nu) := \sup_{f \in \Lambda(X)} w_p(f_\sharp \mu, f_\sharp \nu)$$
   由于可观测函数是 1-Lipschitz 的，由此可得 $\theta_p(\mu, \nu) \leq w_p(\mu, \nu)$，确立了其作为下界的性质。

分层近似与可识别性

为了管理在无限维空间 $\Lambda(X)$ 上优化的计算成本，作者构建了子空间层级 $\Lambda_n(X) \subseteq \Lambda(X)$。

• 基本可观测函数：构建始于点到距离函数 $f_a(x) = d(x, a)$。
• 楔积：高阶可观测函数通过将这些基本函数的加权楔积（最小值）形成：$f_{\mathbf{a}}^\alpha = \alpha_0 f_{a_0} \wedge \dots \wedge \alpha_n f_{a_n}$。
• 层级结构：$\Lambda_n(X)$ 由最多 $n+1$ 个基本函数的楔积构成的可观测函数组成。这诱导了一系列伪度量 $\theta_{p,n}(\mu, \nu)$。

理论贡献：分层单射性

核心理论结果是Cramér-Wold 装置在度量空间中的类比。论文证明，如果支撑集的度量覆盖维数 $\leq n$，则通过 $\Lambda_n(X)$ 中可观测函数的推前测度集合唯一确定了概率测度 $\mu$。

• 度量覆盖维数（$\xi_X$）：一种通过开覆盖细化为开球来定义的维数概念。
• 分层单射性定理：如果 $\mu$ 的支撑集具有 $\leq n$ 的度量覆盖维数，则 $\mu$ 由其对所有 $f \in \Lambda_n(X)$ 的投影 $f_\sharp \mu$ 唯一确定。
• 推论：对于支撑在低度量覆盖维数空间（如有限集、图或低维流形）上的测度，将可观测函数空间限制在 $\Lambda_n(X)$ 会产生一个真实度量（而不仅仅是伪度量），该度量严格下界于真实的 Wasserstein 距离。

离散计算模型

为了实际实现，作者提出了一种离散模型，其中度量空间由有限 $\delta$-覆盖（网格）近似。可观测函数被限制为锚定在该有限集内点的函数。理论界限表明，随着网格分辨率的增加，离散可观测距离收敛于连续版本，误差与网格间距 $\delta$ 成正比。

关键结果

理论发现

• 度量性质：$\theta_p$ 是所有概率测度空间上的度量。受限版本 $\theta_{p,n}$ 是支撑维数 $\leq n$ 的测度子空间上的度量。
• $p=1$ 时的等价性：对于 $p=1$，可观测 Wasserstein 距离恰好等于标准 Wasserstein 距离（$\theta_1 = w_1$），这一结果源于 Kantorovich-Rubinstein 对偶性。
• 单调性：层级满足 $\theta_{p,n} \leq \theta_{p,m} \leq \theta_p \leq w_p$（当 $n \leq m$ 时），提供了计算效率与界限锐度之间的可调权衡。

数值实验

论文提出了几项概念验证实验，将可观测 Wasserstein（OW）距离与切片 Wasserstein（SW）、标准 Wasserstein 距离和 Chamfer 距离进行比较：

1. 高斯分类：在高维欧几里得空间中，OW 和 SW 在区分高斯类别方面表现相当。然而，随着维度的增加，OW 显示出相对性能优势，这可能是由于测度集中现象影响了 SW 中的一维投影。
2. 图分布：在非欧几里得图空间上，OW 在分类任务中显著优于标准 Wasserstein 距离，同时保持了卓越的计算可扩展性。OW 表现出经典 Wasserstein 所缺乏的抗噪鲁棒性。
3. 球面分布：球面上的实验说明了可观测函数/函数数量与计算成本之间的权衡。增加可观测函数的复杂性（更高的 $n$）会降低相对误差，但会带来组合成本。
4. 点云分类（ModelNet10）：在现实世界的 3D 对象数据上，OW 距离在可扩展度量中取得了最佳分类分数，特别是在噪声环境下，优于 SW 和 Chamfer 距离。
5. 深度学习应用：作者将 OW 集成到点云自编码器的损失函数中。使用 OW（特别是用于可微分的 $L_2$ 风格变体）与 Chamfer 距离相比，产生了更高的潜在空间分类准确性和重建中更均匀的点密度，而 Chamfer 距离产生的输出虽然更锐利但密度分布不均。

意义与主张

本文声称提供了一种计算可行的框架，用于在一般度量空间中推导 Wasserstein 距离的下界，从而绕过了像切片 Wasserstein 这样特定于欧几里得空间的方法的局限性。

• 理论新颖性：该工作建立了测度支撑集的度量覆盖维数与唯一恢复所需的可观测函数阶数之间的严谨联系。这成为理解非欧几里得 OT 中可识别性的基本理论工具。
• 实用价值：该框架提供了一种“可调”方法，从业者可以调整可观测函数的阶数（$n$），以在计算成本与距离界限的锐度之间取得平衡。
• 可扩展性：离散模型允许在大规模数据集上高效实现，实证证据表明其随投影/锚点数量呈线性扩展，使其适用于精确 OT 不可行的大规模数据集。
• 鲁棒性：实验表明，与经典 Wasserstein 距离相比，OW 距离可能提供对噪声的更优越的鲁棒性，使其适用于现实世界的数据应用。

作者将这项工作定位为基础性步骤，指出虽然当前的数值实验仅为概念验证，但该框架为未来的研究开辟了道路，包括采样收敛性、$p \neq 1$ 时的双 Lipschitz 等价性，以及将可学习可观测函数集成到深度学习流程中。