List-Decodable Folded Quantum Hermitian Codes

技术摘要：可列表解码的折叠量子厄米特码

问题陈述
源于代数几何（AG）码的量子纠错码长期以来一直是研究课题，其中厄米特曲线因其丰富的自同构群和优越的渐近参数而占据重要地位。尽管经典列表解码已取得显著进展——最终催生了逼近 Singleton 界的折叠里德 - 所罗门码——但将这些技术转化为量子环境却面临挑战。具体而言，由 Bergamaschi、Golowich 和 Gunn 最近构建的折叠量子里德 - 所罗门码虽然达到了量子 Singleton 界，但其字母表尺寸过大。为缓解这一问题，相关研究采用了“量子距离放大”技术，但这增加了复杂度。本文解决的核心问题是：能否从正亏格曲线（特别是厄米特曲线）构建折叠量子码，以实现相当的列表解码性能并逼近量子 Singleton 界，同时利用更小的字母表尺寸，从而可能使距离放大变得不必要。

方法论
作者采用 Calderbank-Shor-Steane (CSS) 框架，从经典折叠 AG 码构建量子码。方法论按以下步骤进行：

1. 经典折叠：作者利用 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上厄米特曲线 $H$ 的自同构群。与依赖单一循环轨道的里德 - 所罗门码不同，厄米特码利用自同构 $\sigma_{\delta, \mu}$ 将仿射有理点划分为多个结构化轨道。沿这些轨道的连续评估被分组为扩展域 $\mathbb{F}_{q^m}$ 上的单个符号，从而生成折叠单点厄米特码 $C^{(\sigma, m)}$。
2. CSS 构造：选择两个折叠经典厄米特码 $C_1^{(\sigma, m)}$ 和 $C_2^{(\sigma, m)}$，使得第二个码的对偶包含在第一个码中（即 $(C_2^{(\sigma, m)})^\perp \subseteq C_1^{(\sigma, m)}$）。作者形式化了折叠与 CSS 构造可交换的条件，确保生成的量子码是良定义的。
3. 纠缠辅助扩展：本文还提出了一种纠缠辅助折叠量子 AG 码的构造方法。该方法利用预共享纠缠（ebits）放宽了严格的包含要求（$C_2^\perp \subseteq C_1$），允许任意两个折叠厄米特码定义一个量子码。
4. 解码分析：通过利用底层经典折叠厄米特码的列表可解码性，对所得量子码的列表可解码性进行分析。作者应用了先前工作（Bergamaschi 等人）中的一个引理，即如果组成经典码是 $(\tau, L)$-列表可解码的，则生成的 CSS 码是 $(\tau, L^2)$-量子列表可解码的。

主要贡献与结果

• 折叠量子厄米特码（FQHC）的构造：本文利用 CSS 框架提供了折叠量子厄米特码的显式构造。这些码源自通过厄米特曲线特定自同构进行折叠的单点厄米特码。
• 逼近量子 Singleton 界的列表可解码性：作者证明了 FQHC 是 $(\tau, L)$-列表可解码的，其解码半径为 $\tau = \frac{1 - R_{FQHC}}{2} - \epsilon$，其中 $R_{FQHC}$ 是量子码的速率。该半径逼近量子 Singleton 界（$1 - R$），与折叠量子里德 - 所罗门码的性能相匹配。
• 字母表尺寸效率：主要成果之一是证明了 FQHC 以 $(1/\epsilon)^{O(1/\epsilon^2)}$ 的字母表尺寸实现了上述性能。相比之下，实现类似界限的折叠量子里德 - 所罗门码需要量子距离放大，导致其字母表尺寸为 $2^{O(1/\epsilon^5)}$。作者表明，对于任意 $\epsilon$，FQHC 的字母表尺寸严格更小，从而消除了对距离放大的需求。
• 确定性解码算法：本文确立了确定性量子列表解码算法的存在性。该过程包括测量稳定子以获得经典伴随式，在组成折叠厄米特码上运行经典列表解码器以生成候选错误列表，并将这些列表配对以形成多项式大小的候选泡利错误列表。总运行时间为 $N^{O(1/\epsilon^2)}$。
• 纠缠辅助构造：本文将框架扩展至纠缠辅助码，允许从任意一对折叠厄米特码构建量子码，而无需满足对偶包含条件，代价是消耗纠缠资源。

意义
本文声称，其构建的折叠量子厄米特码为折叠量子里德 - 所罗门码提供了一种更高效的替代方案。通过利用正亏格曲线的几何结构，作者在保持显著更小字母表尺寸的同时，实现了逼近量子 Singleton 界的列表可解码性。至关重要的是，该工作表明，在使用厄米特曲线时，无需采用“昂贵”的量子距离放大技术即可实现近最优解码半径。这表明，对于折叠量子码，正亏格曲线在速率、纠错半径和字母表尺寸之间提供了更优越的权衡。本文最后指出，从其他正亏格曲线构建显式的折叠量子 AG 码，以及探索 CSS 和纠缠辅助框架之外的构造，仍是未解决的问题。