技术摘要：从实验中学习线性动力学的局限性

1. 问题陈述

本文解决了从观测到的状态 - 输入轨迹中识别未知连续时间线性时不变（LTI）系统参数 $(A, B)$ 的基本问题。该系统由以下常微分方程控制：
$$\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t), \quad x(0) = x_0$$
其中 $x(t) \in \mathbb{R}^n$ 是状态，$u(t) \in \mathbb{R}^m$ 是控制输入，$(A, B)$ 是未知参数。

受控 LTI 系统的经典可辨识性理论确立，系统的可控性和**持续激励（PE）**输入是从单次实验中唯一恢复 $(A, B)$ 的充分条件。然而，在许多实际场景中——特别是稀疏和高维系统——可控性往往失效。当缺乏可控性时，单次实验是否能唯一确定整个系统，或者是否仅能恢复系统的部分，仍不清楚。此外，现有文献缺乏一种不假设可控性的非自治 LTI 系统可辨识性的闭式表征。

核心问题在于表征实验条件可辨识性：确定系统的哪些部分由特定的实验设置（由初始状态 $x_0$ 和控制输入 $u$ 定义）唯一确定，而哪些部分仍然模糊不清。

2. 方法论与理论框架

作者开发了一个几何和代数框架，以分析从单次实验 $e = (x_0, u)$ 中可恢复的信息极限。

2.1 可见子空间

引入的核心概念是可见子空间，记为 $\mathcal{V}(x_0)$。它被定义为包含初始状态 $x_0$ 和输入矩阵 $B$ 的像（即 $\text{Im}(B)$）的最小 $A$-不变子空间。形式上，它是 Krylov 张成空间：
$$\mathcal{V}(x_0) := \mathcal{K}_n(A, [x_0 \ B]) = \text{span}\left\{ [x_0 \ B], A[x_0 \ B], \dots, A^{n-1}[x_0 \ B] \right\}$$
作者证明了一个轨道限制引理：无论输入 $u$ 的复杂性如何，生成的状态轨迹 $\phi(t)$ 都严格限制在 $\mathcal{V}(x_0)$ 内。因此，该子空间之外（在“盲区”补集中）的系统动力学无法影响观测到的轨迹。

2.2 实验一致集与设计一致集

本文区分了两类与观测结果一致的系统集合：

1. 设计一致集 $[A, B]_E$：与实验类别（所有可能的输入 $u \in U$）一致的所有系统集合。这代表了给定初始状态和输入能力下的信息结构极限。
2. 实验一致集 $[A, B]_e$：与单次实现实验 $(x_0, u)$ 一致的所有系统集合。

作者建立了一个“桥梁”定理：如果实现的轨迹是信息丰富的（意味着投影状态和输入的联合回归量的 Gramian 满秩），则单次实验集坍缩为设计一致集（$[A, B]_e = [A, B]_E$）。他们表明，足够阶数的持续激励输入保证了这种信息丰富性。

2.3 可辨识性的表征

在信息丰富的实验下，作者推导了与数据一致的所有系统的闭式参数化。利用坐标变换 $T$ 将可见子空间 $\mathcal{V}(x_0)$ 与其补集 $\mathcal{W}$ 分离，任何一致系统 $(\tilde{A}, \tilde{B})$ 必须满足：

• $\tilde{B} = B$
• $\tilde{A}$ 在可见子空间上的限制等于 $A$ 的限制：$\tilde{A}|_{\mathcal{V}(x_0)} = A|_{\mathcal{V}(x_0)}$
• 补集 $\mathcal{W}$ 上的动力学和交叉耦合项可以是任意的。

因此，当且仅当 $\mathcal{V}(x_0) = \mathbb{R}^n$（即可见子空间张成整个状态空间）时，系统才是完全可辨识的。否则，仅可见子空间上的受限动力学被唯一确定。

2.4 代数判据

为了量化接近不可辨识性的程度，本文提出了基于增广对 $(A, [x_0 \ B])$ 的两个代数测试：

1. 左特征向量测试：如果存在 $A$ 的左特征向量 $w$ 使得 $w^\top x_0 = 0$ 且 $w^\top B = 0$，则完全可辨识性失效。定义了一个裕度 $\mu_{\min}$ 来衡量特征向量与激励源的对齐程度。
2. 固定实验 PBH 测试：推导了修正的 Popov–Belevitch–Hautus (PBH) 裕度 $d_{\text{PBH}}(A, B | x_0)$，用于衡量在给定固定 $x_0$ 的情况下失去可辨识性的距离。

3. 主要贡献

1. 部分可辨识性定理：本文证明，即使整个系统不可辨识，限制在可见子空间 $\mathcal{V}(x_0)$ 上的动力学也由单次信息丰富的实验唯一确定。
2. 闭式参数化：提供了与给定实验一致的所有系统集合的显式描述，表征了不可辨识子空间中的自由度。
3. 可辨识性的代数判据：引入了可计算的指标（$\mu_{\min}$ 和 $d_{\text{PBH}}$）来测试完全可辨识性并量化辨识问题的鲁棒性。
4. 向受控系统的扩展：与以往专注于自治系统的工作不同，该框架明确解耦了受控 LTI 系统中初始状态和控制输入的作用。

4. 实验结果

作者在易发生可控性失效的合成稀疏 LTI 系统上验证了其理论发现。

• 可控性与可辨识性：实验表明，随着稀疏性的增加，可控系统的比例显著下降。然而，可辨识性被证明是实验条件的：稠密的初始状态可以使不可控系统变得完全可辨识，而稀疏的初始状态可能导致部分可辨识性。
• 子系统恢复：本文在稀疏系统上基准测试了四种辨识方法（DMDc, MOESP, SINDy 和神经 ODE）。
  • 结果：即使整个系统不可辨识，所有方法都能以接近零的误差成功恢复可见子系统（即限制在 $\mathcal{V}(x_0)$ 上的部分）。
  • 对比：恢复整个系统的误差（$REE_{\text{full}}$）保持远离零，反映了未激发子空间中的结构模糊性。
  • 噪声鲁棒性：随着观测噪声的增加，可见子系统的误差仍低于全系统误差，尽管由于与闭式估计器相比的优化挑战，神经 ODE（NODEs）的整体误差较高。

5. 意义与主张

本文声称解决了文献中关于在不假设可控性的情况下非自治 LTI 系统可辨识性的空白。其主要意义在于将视角从“系统是否可辨识？”转变为“给定此特定实验，什么可辨识？”

作者认为：

• 经典保证（可控性 + PE）对于稀疏、高维系统往往过于严格。
• 从业者应根据其实验设计诱导的可见子空间来解释机制性结论。
• 无论模型在训练数据上的拟合程度如何，任何关于可见子空间之外动力学的断言都是没有根据的。
• 提出的代数判据允许从业者在运行实验之前或之后量化其辨识任务的“认知不确定性”。

这项工作并未提出新的估计算法，而是提供了一个理论透镜，以理解现有方法的局限性以及实验数据的基本信息内容。