Résumé Technique : Limites de l'Apprentissage des Dynamiques Linéaires à partir d'Expériences

1. Énoncé du Problème

L'article aborde le problème fondamental de l'identification des paramètres $(A, B)$ d'un système linéaire invariant dans le temps (LTI) continu inconnu à partir de trajectoires observées d'état et d'entrée. Le système est régi par l'équation différentielle ordinaire :
$$\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t), \quad x(0) = x_0$$
où $x(t) \in \mathbb{R}^n$ est l'état, $u(t) \in \mathbb{R}^m$ est l'entrée de commande, et $(A, B)$ sont les paramètres inconnus.

La théorie classique de l'identifiabilité pour les systèmes LTI contrôlés établit que la commandabilité du système et une entrée persistamment excitante (PE) sont des conditions suffisantes pour retrouver de manière unique $(A, B)$ à partir d'une seule expérience. Cependant, dans de nombreux contextes pratiques — en particulier pour les systèmes parcimonieux et de haute dimension — la commandabilité échoue souvent. En l'absence de commandabilité, il reste unclear si une seule expérience peut déterminer de manière unique le système complet ou si seules des parties du système sont récupérables. De plus, la littérature existante manque d'une caractérisation sous forme close de l'identifiabilité pour les systèmes LTI non autonomes qui ne suppose pas la commandabilité.

Le problème central consiste à caractériser l'identifiabilité conditionnelle à l'expérience : déterminer quelles parties du système sont déterminées de manière unique par une configuration expérimentale spécifique (définie par un état initial $x_0$ et une entrée de commande $u$), et quelles parties restent ambiguës.

2. Méthodologie et Cadre Théorique

Les auteurs développent un cadre géométrique et algébrique pour analyser les limites des informations récupérables à partir d'une seule expérience $e = (x_0, u)$.

2.1 Le Sous-espace Visible

Le concept central introduit est le Sous-espace Visible, noté $\mathcal{V}(x_0)$. Il est défini comme le plus petit sous-espace invariant par $A$ contenant l'état initial $x_0$ et l'image de la matrice d'entrée $B$ (c'est-à-dire $\text{Im}(B)$). Formellement, c'est l'enveloppe de Krylov :
$$\mathcal{V}(x_0) := \mathcal{K}_n(A, [x_0 \ B]) = \text{span}\left\{ [x_0 \ B], A[x_0 \ B], \dots, A^{n-1}[x_0 \ B] \right\}$$
Les auteurs prouvent un Lemme de Confinement Orbital : indépendamment de la complexité de l'entrée $u$, la trajectoire d'état résultante $\phi(t)$ est strictement confinée à $\mathcal{V}(x_0)$. Par conséquent, la dynamique du système en dehors de ce sous-espace (dans le complément "aveugle") ne peut pas influencer la trajectoire observée.

2.2 Ensembles Cohérents avec l'Expérience vs Cohérents avec la Conception

L'article distingue deux ensembles de systèmes cohérents avec les observations :

1. Ensemble Cohérent avec la Conception $[A, B]_E$ : L'ensemble de tous les systèmes cohérents avec la classe d'expérience (toutes les entrées possibles $u \in U$). Cela représente la limite structurelle de l'information étant donné l'état initial et les capacités d'entrée.
2. Ensemble Cohérent avec l'Expérience $[A, B]_e$ : L'ensemble de tous les systèmes cohérents avec une expérience réalisée unique $(x_0, u)$.

Les auteurs établissent un théorème de "Pont" : si la trajectoire réalisée est informatrice (ce qui signifie que le régresseur conjoint de l'état projeté et de l'entrée possède une matrice de Gram de rang plein), alors l'ensemble de l'expérience unique s'effondre vers l'ensemble cohérent avec la conception ($[A, B]_e = [A, B]_E$). Ils montrent qu'une entrée persistamment excitante d'ordre suffisant garantit cette informativité.

2.3 Caractérisation de l'Identifiabilité

Sous une expérience informative, les auteurs dérivent une paramétrisation sous forme close de tous les systèmes cohérents avec les données. En utilisant une transformation de coordonnées $T$ qui sépare le sous-espace visible $\mathcal{V}(x_0)$ de son complément $\mathcal{W}$, tout système cohérent $(\tilde{A}, \tilde{B})$ doit satisfaire :

• $\tilde{B} = B$
• La restriction de $\tilde{A}$ au sous-espace visible est égale à la restriction de $A$ : $\tilde{A}|_{\mathcal{V}(x_0)} = A|_{\mathcal{V}(x_0)}$
• La dynamique sur le complément $\mathcal{W}$ et les termes de couplage croisé peuvent être arbitraires.

Ainsi, le système est pleinement identifiable si et seulement si $\mathcal{V}(x_0) = \mathbb{R}^n$ (c'est-à-dire que le sous-espace visible engendre tout l'espace d'état). Sinon, seules les dynamiques restreintes sur le sous-espace visible sont déterminées de manière unique.

2.4 Critères Algébriques

Pour quantifier la proximité à la non-identifiabilité, l'article propose deux tests algébriques basés sur le couple augmenté $(A, [x_0 \ B])$ :

1. Test du Vecteur Propre Gauche : L'identifiabilité complète échoue s'il existe un vecteur propre gauche $w$ de $A$ tel que $w^\top x_0 = 0$ et $w^\top B = 0$. Une marge $\mu_{\min}$ est définie pour mesurer l'alignement des vecteurs propres avec les sources d'excitation.
2. Test PBH à Expérience Fixe : Une marge PBH (Popov–Belevitch–Hautus) modifiée $d_{\text{PBH}}(A, B | x_0)$ est dérivée, mesurant la distance à une perte d'identifiabilité étant donné $x_0$ fixe.

3. Contributions Clés

1. Théorème d'Identifiabilité Partielle : L'article prouve que même lorsque le système complet n'est pas identifiable, la dynamique restreinte au sous-espace visible $\mathcal{V}(x_0)$ est déterminée de manière unique par une seule expérience informative.
2. Paramétrisation sous Forme Close : Il fournit une description explicite de l'ensemble de tous les systèmes cohérents avec une expérience donnée, caractérisant les degrés de liberté dans le sous-espace non identifiable.
3. Critères Algébriques pour l'Identifiabilité : Il introduit des métriques calculables ($\mu_{\min}$ et $d_{\text{PBH}}$) pour tester l'identifiabilité complète et quantifier la robustesse du problème d'identification.
4. Extension aux Systèmes Contrôlés : Contrairement aux travaux antérieurs axés sur les systèmes autonomes, ce cadre dissocie explicitement les rôles de l'état initial et de l'entrée de commande dans les systèmes LTI contrôlés.

4. Résultats Expérimentaux

Les auteurs valident leurs résultats théoriques sur des systèmes LTI synthétiques parcimonieux, sujets aux échecs de commandabilité.

• Commandabilité vs Identifiabilité : Les expériences montrent que lorsque la parcimonie augmente, la fraction de systèmes commandables chute considérablement. Cependant, l'identifiabilité s'avère conditionnelle à l'expérience : des états initiaux denses peuvent rendre un système non commandable pleinement identifiable, tandis que des états initiaux parcimonieux peuvent conduire à une identifiabilité partielle.
• Récupération de Sous-système : L'article évalue quatre méthodes d'identification (DMDc, MOESP, SINDy et Équations Différentielles Ordinaires Neurales) sur des systèmes parcimonieux.
  • Résultat : Toutes les méthodes récupèrent avec succès le sous-système visible (la restriction à $\mathcal{V}(x_0)$) avec une erreur proche de zéro, même lorsque le système complet n'est pas identifiable.
  • Contraste : L'erreur dans la récupération du système complet ($REE_{\text{full}}$) reste éloignée de zéro, reflétant l'ambiguïté structurelle dans le sous-espace non excité.
  • Robustesse au Bruit : À mesure que le bruit d'observation augmente, l'erreur dans le sous-système visible reste inférieure à l'erreur du système complet, bien que les Équations Différentielles Ordinaires Neurales (NODEs) présentent des erreurs globales plus élevées en raison de défis d'optimisation par rapport aux estimateurs sous forme close.

5. Signification et Revendications

L'article prétend combler une lacune dans la littérature concernant l'identifiabilité des systèmes LTI non autonomes sans supposer la commandabilité. Sa signification principale réside dans le changement de perspective de "le système est-il identifiable ?" vers "que peut-on identifier étant donné cette expérience spécifique ?".

Les auteurs soutiennent que :

• Les garanties classiques (commandabilité + PE) sont souvent trop restrictives pour les systèmes parcimonieux de haute dimension.
• Les praticiens devraient interpréter les conclusions mécanistes par rapport au sous-espace visible induit par leur conception expérimentale.
• Toute affirmation concernant la dynamique en dehors du sous-espace visible est injustifiée, indépendamment de la qualité de l'ajustement d'un modèle aux données d'entraînement.
• Les critères algébriques proposés permettent aux praticiens de quantifier l'"incertitude épistémique" de leur tâche d'identification avant ou après la réalisation d'une expérience.

Le travail ne propose pas de nouveaux algorithmes d'estimation, mais fournit plutôt une lentille théorique pour comprendre les limites des méthodes existantes et le contenu informationnel fondamental des données expérimentales.