Tautological modular forms of level two and degree two

技术摘要：二次型与二次度的同义模形式

问题陈述
本文探讨并显式描述了二次度且二次型的向量值西格尔模形式环 $R(A_2[2])$ 的构造。与一次型的情况不同（在椭圆曲线情形下由艾森斯坦级数 $E_4, E_6$ 生成，或在亏格 2 情形下由特定形式生成，其模形式环是有限生成的），二次度的向量值模形式环已知不是有限生成的（Grundh [2]）。作者寻求一种方法，利用“同义”形式（即与空间模解释紧密相关的形式）来描述这一非有限生成的环，并将该环嵌入到一个有限生成的结构中，以便于显式计算。

方法论
作者采用了一种结合模叠理论、不变量理论和 theta 函数的几何方法。

1. 模叠解释：具有完全二次结构的主极化阿贝尔曲面的模空间 $A_2[2]$ 被解释为叠商。具体而言，具有标记魏尔斯特拉斯点的亏格 2 曲线的模空间 $M_2[2]$ 被识别为叠 $[P/GL_2]$，其中 $P$ 是由 $\mathbb{P}^1$ 上的六个点 $(p_1, \dots, p_6)$ 和在这些点上消失的二元六次型 $f$ 组成的对的空间。对称群 $S_6 \cong Sp(4, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 通过置换这六个魏尔斯特拉斯点作用于该空间。
2. 形式的几何构造：作者通过解释射影化霍奇丛 $\mathbb{P}(E)$ 上的除子来构造向量值模形式。通用曲线上的六个魏尔斯特拉斯点定义了六个截面，其闭包产生了除子 $W_i$。作者将这些除子与六个奇 theta 函数的梯度 $G_1, \dots, G_6$ 联系起来。
3. 不变量理论与协变量：问题被转化为经典不变量理论的语言。$A_2[2]$ 上的向量值模形式被识别为 $GL_2$ 在空间 $V^{\oplus 6}$（两个变量的六个线性形式）上的作用的协变量。协变量环 $C(V^{\oplus 6})$ 是有限生成的（根据戈尔丹定理），而模形式环则不是。
4. 同态 $\mu$ 和 $\nu$：
   • 定义了一个同态 $\mu: R(A_2[2]) \to C'(V^{\oplus 6})$，将模形式映射到具有特定度约束的协变量。
   • 通过用模形式 $G_i$（以及 theta 常数）代入协变量多项式，构造了一个反向同态 $\nu: C'(V^{\oplus 6}) \to R(A_2[2])[1/\chi_5]$。该映射落在亚纯模形式环中。
5. 全纯性判据：为了恢复全纯模形式环，作者建立了一个正则性的代数判据。一个协变量 $C$ 产生一个全纯模形式，当且仅当其在对应于六点划分的边界除子 $H_\pi$ 上的赋值 $v_\pi(C)$ 对所有划分 $\pi$ 均为非负。

主要贡献与结果

• 同义形式：本文构造了由除子、通用二元六次型的系数以及奇 theta 函数的梯度定义的“同义”向量值模形式。具体而言，形式 $G_i$（奇 theta 函数的梯度）和 $\chi_5$（判别式的平方根，即偶 theta 常数的乘积）作为基本构建块。
• 显式同构：二次型的向量值西格尔模形式环被显式识别为有限生成的协变量环的一个子环：
  $$R(A_2[2]) \cong \{ c \in C'(V^{\oplus 6}) : v_\pi(c) \geq 0 \text{ 对所有 } \pi \}$$
  这通过一个有限生成的环境环提供了对非有限生成环的具体描述。
• 特定形式的构造：作者通过构造各种模形式空间（例如 $S_{2,5}$、$S_{4,4}$、$S_{4,5}$、$S_{6,4}$）的显式基来演示该方法。他们计算了这些形式的傅里叶展开和赫克特征值，并将其性质与已知数据（例如有限域上的点计数）进行验证。
• 中间层级：该框架被扩展到一次型和二次型之间的中间层级（例如 $A_2[w]$，即具有标记魏尔斯特拉斯点的曲线的模空间）。通过将通用二元六次型分解为因子（例如一个五次型和一个线性形式），作者利用较低次二元形式的协变量构造了这些中间层级的模形式。

意义
本文声称，这种构造方法为二次度向量值模形式环缺乏有限生成元集合的问题提供了“良好的补偿”。通过将环嵌入到有限生成的协变量环中，作者提供了一种系统的方法来显式生成所有模形式。此外，作者指出，该方法“已准备好用于模形式的机器构造”，有助于计算傅里叶展开和其他不变量。这项工作推广了关于亏格 2（一次型）和亏格 3 模空间的先前结果，暗示了一条将这些技术扩展到亏格 3 的途径。本文并未声称解决有限生成问题，而是提供对该环结构和元素的实用、显式描述。