Learning a Contracting KKL-observer with Local Optimal Guarantees

技术摘要：学习具有局部最优保证的收缩 KKL 观测器

问题陈述
Kazantzis-Kravaris-Luenberger (KKL) 框架通过将系统动力学嵌入稳定的潜在空间，为非线性状态估计提供了一种通用方法。尽管近期进展利用机器学习来近似 KKL 变换（求解相关的非线性偏微分方程），但一个根本性挑战依然存在：潜在动力学 $\phi$ 的选择。在实践中，这些动力学通常被启发式地选择（例如线性对角系统），这虽然可能确保全局稳定性，但往往导致在稳态对测量噪声和未建模扰动的敏感性方面表现次优。核心问题在于如何系统地设计潜在动力学，以在实现局部最优性的同时，不损害 KKL 理论固有的全局收缩保证。

方法论
作者提出了一种基于学习的策略，该策略将 KKL 观测器的全局鲁棒性与最小能量估计器（MEE，也称为 Mortensen 观测器）的局部最优性相结合。该方法论分为三个主要阶段：

1. 局部行为的理论表征：
   本文推导了通用 KKL 观测器重构状态动力学 $\dot{\hat{x}}$ 的一阶近似。该分析表明，局部行为由有效增益矩阵 $\Psi(\hat{x})$ 支配。作者证明，为了使观测器模仿 Mortensen 滤波器的最优局部行为，该增益必须匹配特定的最优项 $\Psi_{opt}(\hat{x})$。该最优项源自与信息矩阵 $P(x)$ 相关的偏微分 Riccati 方程 (PDRE) 的解。

2. 具有结构约束的学习策略：
   为了实现这种理论上的最优行为，作者采用深度学习来近似三个关键组件：浸入映射 $\hat{T}$、重构映射 $\hat{\tau}$ 和潜在动力学 $\hat{\phi}$。

   • 收缩保证： 为了确保全局稳定性（要求 R2），潜在动力学 $\hat{\phi}$ 使用 NodeRENs（具有特定结构约束的神经常微分方程）进行参数化，该方法通过设计在数学上强制执行收缩属性。
   • 最优性近似： 由于求解一般非线性系统的 $P(x)$ 的 PDRE 是难以处理的，首先训练一个多层感知机 (MLP) 来近似逆信息矩阵 $\hat{P}^{-1}$，通过最小化变换后的 PDRE 的残差来实现。
   • 联合优化： 浸入映射、重构映射和潜在动力学被联合训练以最小化复合损失函数。该损失包括：
     • $\ell_{pde}$：惩罚对 KKL 偏微分方程的偏离。
     • $\ell_{inv}$：确保重构映射是浸入映射的左逆。
     • $\ell_{opt}$：强制学习到的观测器的有效增益与从近似 $\hat{P}^{-1}$ 导出的最优增益相匹配。

主要贡献

• 局部最优性条件： 本文推导了关于潜在动力学的特定条件，使得当估计误差较小时，KKL 观测器在局部上模仿最小能量估计器（Mortensen 观测器）的行为。
• 基于收缩的学习框架： 它引入了一种利用神经网络学习 KKL 观测器的方法论，这些网络通过结构强制收缩（通过 NodeRENs），从而在优化局部性能的同时保证全局鲁棒性。
• 最优滤波的近似： 这项工作通过使用信息矩阵及其相关最优增益结构的数据驱动近似，弥合了最优滤波理论（通常要求求解无限维 HJB 方程）与实际观测器设计之间的差距。

结果
所提出的方法论通过在两个非线性基准测试（Van der Pol 振荡器和反向 Duffing 振荡器）上的数值模拟进行了验证。

• 全局稳定性： 学习到的观测器表现出从任意初始条件出发的鲁棒收敛性，这归因于潜在动力学被强制执行的收缩属性。
• 噪声处理： 估计器在存在显著测量噪声的情况下能够准确跟踪系统状态。
• 可调节性： 模拟表明，通过调整训练损失中的加权矩阵 ($R$)，可以调节观测器的行为。较小的 $R$ 使观测器更紧密地跟踪噪声动力学，而较大的 $R$ 则使其更依赖于系统模型，从而展示了在模型保真度和噪声抑制之间进行权衡的能力。

意义与主张
作者声称，这项工作为 KKL 观测器的潜在动力学提供了“原则性表征”，超越了启发式选择。通过将全局收缩保证与针对局部最优性的学习目标相结合，所提出的策略提供了一种系统的方法来设计观测器，使其既对初始化具有鲁棒性，又能以受控的方式对噪声敏感。该论文谦逊地将这些结果定位为在学术基准上的演示，指出未来的工作将集中在建立学习模型的近似界限，并将理论扩展到离散时间动力学。该方法被提出作为针对那些 KKL 偏微分方程的解析解无法触及且标准观测器可能在噪声性能方面挣扎的系统的解决方案。