Projections of convex polytopes to a line and higher univariate Prony systems

技术摘要：凸多胞形到直线的投影与高阶单变量 Prony 系统

问题陈述
本文研究了凸多胞形的逆矩问题，具体关注限制在凸$d$维多胞形$P$上的勒贝格测度到直线上的推前测度。虽然经典的 Prony 系统（由 de Prony 于 1795 年引入）解决了从矩中恢复有限点质量构型的问题，但本工作将问题推广到测度为连续的情况，即由$d-1$次样条密度表示。核心问题在于如何从此类投影测度的矩序列中重构底层几何结构（节点与振幅），并理解支配这些矩的代数关系。

方法论
作者综合运用了代数几何、样条理论与矩问题的方法。方法论按以下步骤进行：

1. 几何表征：推前测度被识别为支撑在多胞形投影顶点所定义区间上的非负样条密度。该密度的$d$阶分布导数被证明是支撑在投影顶点集上的离散符号测度。
2. 样条空间表述：问题被表述在一个固定结点的单变量样条空间$L_{d,X}$中，该空间由与投影顶点相关联的连续归一化单纯形样条（B 样条）生成。
3. 代数重构：利用有理生成函数分析矩序列。本文确立了归一化矩满足由投影顶点坐标决定的线性递推关系。
4. Hankel 矩阵分析：节点的恢复是通过由归一化矩构建的矩形 Hankel 矩阵的核来实现的。振幅的恢复被简化为求解一个涉及由完全齐次对称多项式导出的特定系数矩阵的线性方程组。
5. 正性与实现：本文区分了“样条松弛”（由 B 样条生成的正单纯锥中的测度）与“字面单多胞形锥”（源自单个凸多胞形的测度）。它利用 Brunn–Minkowski 不等式推导了低维情况下后者的充要条件。
6. 多向相容性：研究扩展到多个投影方向，分析了一组单变量矩序列源自单一公共测度所需的相容性约束。

主要贡献与结果

• 高阶 Prony 系统：本文针对$d \geq 0$定义了“高阶”单变量 Prony 系统（定义 2.10）。当$d=0$时，该系统还原为经典的 Prony 系统。当$d > 0$时，该系统将矩与在投影顶点处具有结点的 B 样条测度之和联系起来。
• 有理生成函数与递推：推导了缩放矩的有理生成函数（定理 2.8）。结果表明，归一化矩满足$n$阶线性递推（其中$n$为顶点数），其特征多项式的根位于投影顶点坐标处。
• 显式重构算法：
  • 节点恢复：对于通用数据，投影顶点被恢复为由归一化矩构成的 Hankel 矩阵的核多项式的根（命题 2.11）。
  • 振幅恢复：一旦节点已知，振幅通过求逆矩阵$A_{d,n}(X)$唯一确定，该矩阵的行列式具有涉及节点差值的闭式分解（命题 2.12）。
• 正性判据：本文提供了显式的线性不等式，用前$n-d$个归一化矩刻画了正单纯样条锥（定理 2.13）。
• 方向矩簇：具有$n$个顶点的$d$维多胞形的方向矩簇被识别为 Hankel 行列式簇（定理 2.17）。定义该簇的素理想由特定 Hankel 矩阵的最大阶子式生成。
• 单多胞形实现：
  • 对于$d=2$，本文提供了完整的刻画：分段线性密度对应于凸多边形，当且仅当它是非负的、凹的，并在端点处为零（定理 4.1）。
  • 对于$d \geq 2$，通过 Brunn–Minkowski 定理推导了一个必要条件：切片体积密度的$(d-1)$次根必须是凹的（命题 4.3）。
• 多向相容性：本文证明了多个方向中独立的 KSS（Kohn–Sturmfels–Shapiro）条件不足以保证公共测度的存在。它确立了$r$阶方向矩在方向向量中构成$r$次齐次多项式。因此，相容性施加了线性约束（命题 6.4）以及不同方向投影顶点之间的非平凡匹配问题（命题 5.3）。

意义与主张
本文并非作为 Kohn–Sturmfels–Shapiro (KSS) 理论的复证，而是将其视为通过 Prony 重构与逆问题视角的重新诠释。作者主张以下具体贡献：

1. 显式 Prony 解释：为高阶系统提供清晰的重构过程，包括节点与振幅恢复的显式公式。
2. 正性与样条锥：阐明了所有正样条组合的锥与由单个凸多胞形实现的测度的更严格锥之间的区别。
3. 多向约束：指出多向逆问题引入了根本性的新相容性约束（超越单方向 Hankel 关系），这些约束与投影数据的匹配及方向矩的代数结构有关。

该工作得出结论：虽然单向几何已通过 KSS 理论得到充分理解，但多向设置呈现出更刚性的结构，涉及类似于相位恢复的匹配问题以及额外的线性和非线性约束，这表明了一个丰富的代数与几何研究领域。