Non-admissibility of some universal supersingular representations

技术摘要：某些通用超奇异表示的非有限性

问题陈述
本文探讨了 $p$-adic 约化群模 $p$ 表示的结构，具体针对 $G = \mathrm{GL}_n(K)$，其中 $K/\mathbb{Q}_p$ 是次数为 $f$ 的非分歧扩张。虽然 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ 的模 $p$ 局部朗兰兹对应已得到充分理解，但当 $n \ge 3$ 或 $K \neq \mathbb{Q}_p$ 时，其行为表现出显著更高的复杂性。研究的核心对象是与 $\mathrm{GL}_n(k)$ 的不可约 Serre 权 $\sigma$（其中 $k$ 是 $K$ 的剩余类域）相关联的通用超奇异表示 $SS(\sigma)$。$SS(\sigma)$ 定义为紧诱导表示 $c\text{-}\mathrm{Ind}_{KZ}^G \sigma$ 除以由海克算子 $T_1, \dots, T_{n-1}$ 生成的理想所得的商，预期用于对超奇异表示进行分类。

先前的工作已确立，当 $n=2$ 且 $K \neq \mathbb{Q}_p$ 时，$SS(\sigma)$ 是非有限的且长度为无限。然而，证明非有限性的现有方法（依赖于图表理论或 pro-$p$ 伊瓦洛里不变量的显式计算）仅限于 $n=2$ 的情况。未解决的问题是确定 $n \ge 3$ 时 $SS(\sigma)$ 的有限性和长度。

方法论
作者开发了一种不同于以往基于图表的方法，结合了权循环论证、整体化技术以及Emerton–Gee 叠的几何性质。

1. 权循环：作者利用了一种广义的权循环论证形式（最初由 Buzzard 提出，并由 Emerton–Gee–Herzig 推广）。对于 Serre 权 $\sigma$ 和基本反支配余特征 $\mu$，他们构造了 $KZ$的光滑表示$C_\mu(\sigma)$ 以及一个满射态射：
   $$\mathrm{cyc}_\mu: c\text{-}\mathrm{Ind}_{KZ}^G C_\mu(\sigma) \twoheadrightarrow c\text{-}\mathrm{Ind}_{KZ}^G \sigma / (T_\mu).$$
   由于 $c\text{-}\mathrm{Ind}_{KZ}^G \sigma / (T_\mu)$ 满射到 $SS(\sigma)$，证明 $c\text{-}\mathrm{Ind}_{KZ}^G C_\mu(\sigma)$ 的某个特定子商是非有限的，即可推导出 $SS(\sigma)$ 也是非有限的。挑战在于识别 $C_\mu(\sigma)$ 的若尔当–赫尔德因子，并理解它们在权循环映射下的像。

2. 整体化与伽罗瓦表示：为了解决识别相关子商的困难，作者采用了一种整体方法。他们构造了一个连续伽罗瓦表示 $\rho: G_K \to \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$，并通过模 $p$ 局部朗兰兹对应的候选者将其与 $G$ 的一个有限光滑表示 $\pi$ 联系起来。通过精心选择 $\rho$ 使得 $\sigma$ 成为一个“模权”，他们建立了一个从 $C_\mu(\sigma)$ 到 $\pi|_{KZ}$ 的非零态射。这迫使 $C_\mu(\sigma)$ 中特定的若尔当–赫尔德因子 $\sigma' \in \mathrm{JH}(C_\mu(\sigma))$ 出现在 $\pi|_{KZ}$ 的半单核中。

3. 局部模型理论与 Emerton–Gee 叠：合适 $\rho$ 的存在性是通过研究约化 Emerton–Gee 叠 $X_{n, \mathrm{red}}$ 的几何性质来保证的，该叠作为模 $p$ 伽罗瓦表示的模空间。作者分析了对应于 $\sigma$ 和 $\sigma'$ 的不可约分支 $C_\sigma$ 和 $C_{\sigma'}$ 的交集。

   • 他们利用了 [LLHM+24] 中发展的潜在结晶叠的显式局部图表。
   • 他们在包含 $\sigma$ 最高权的 $p$-alcove 上定义了一个“特殊”条件。
   • 他们证明了对于“特殊”权，$\sigma$ 的超奇异轨、分支 $C_{\sigma'}$ 以及 $\sigma'$ 的普通轨的交集非空。这确保了存在一个相对于 $\sigma$ 是超奇异但相对于 $\sigma'$ 是普通的 $\rho$。

4. 非有限性论证：对于这样的 $\rho$，$c\text{-}\mathrm{Ind}_{KZ}^G \sigma'$ 在 $\pi$ 中的像通过一个主级表示分解。通过将 $\rho$ 的对角特征与无限多个非分歧特征进行扭曲，作者生成了无限多个作为像的商的非同构主级表示。根据引理 2.11，一个允许无限多个非同构不可约商表示的表示是非有限的。

主要贡献与结果

• 定理 1.1（定理 5.1）：设 $K/\mathbb{Q}_p$ 是次数为 $f \ge 1$ 的非分歧扩张。如果 $n \ge 3$ 且 $\sigma$ 是一个足够深的 Serre 权，其 $p$-限制最高权位于一个“特殊”的 $p$-限制 $p$-alcove 中，那么通用超奇异表示 $SS(\sigma)$ 是非有限的且长度为无限。
• 推广：该结果将已知的 $n=2$ 且 $K \neq \mathbb{Q}_p$ 时的非有限性推广到了更高秩（$n \ge 3$）。
• 几何洞察：本文确立了对于特殊权，Emerton–Gee 叠的不可约分支 $C_\sigma$ 中的超奇异轨的余维数为 1（推论 3.28）。这与最低 alcove 情形形成对比，在后者的情形中超奇异轨更为平凡。
• 方法论转变：本文证明了伽罗瓦表示可以指导 $p$-adic 群的模 $p$ 表示论，具体而言，是利用 Emerton–Gee 叠的几何性质来控制通用表示的结构。

意义与局限性
作者声称，他们的方法为研究 $p$-adic 群的模 $p$ 表示提供了一条新途径，超越了目前对 $n \ge 3$ 尚不可用的图表理论的局限性。该结果证实了 $\mathrm{GL}_n(K)$（$n \ge 3$）中观察到的“令人惊讶的复杂行为”包括在一般条件下通用超奇异表示的非有限性。

本文明确指出了局限性：

• 该结果要求 $\sigma$ 是“足够深的”，且其最高权位于一个“特殊”的 $p$-alcove 中。此类 alcove 的比例为 $1 - (\frac{n-2}{n-1})^f$。
• 针对 $n \ge 3$ 的证明依赖于局部图表交集的特定几何性质；作者指出，对于非特殊权（例如在基础 $p$-alcove 中），权循环论证所需的交集可能为空，这使得问题变得显著更加困难。
• 虽然该论证可以调整以证明 $n=2$ 且 $f \ge 2$ 时的非有限性，但主要焦点在于 $n \ge 3$ 的情况，因为先前的方法在此失效。

本文未提出超出已确立的非有限性结果和 Emerton–Gee 叠几何性质范围之外的新实验应用或未来猜想。