Zero-cycles on Moduli Spaces of Twisted Sheaves and Applications to Double EPW Quartics

技术摘要：扭曲层模空间上的零循环及其在双重 EPW 四次流形中的应用

问题陈述
本文探讨了稳定对象模空间上零循环（记为 $CH_0$ 的 0 维陈群）的结构。具体而言，本文旨在将关于零循环的滤过和等价性判据的已知结果，从无扭曲 K3 曲面的情形推广至扭曲 K3 曲面（即对 $(S, \beta)$，其中 $\beta$ 为 Brauer 类）。此外，本文研究了双重 EPW 四次流形这一特例，这类流形是 $K3^{[2]}$ 型的超凯勒四维流形。这些代数簇可被实现为扭曲层的模空间，从而提供了一个几何测试平台，用于将这些模空间的零循环理论与底层的 K3 曲面及其相关的 Verra 四维流形联系起来。

方法论
作者结合了双有理动机、导出范畴技巧和几何构造：

1. 双有理动机与滤过：本文利用双有理动机范畴 $M^\circ(k)_\mathbb{Q}$，建立了模空间动机与底层 K3 曲面对称幂的动机之间的同构。该框架允许比较 $CH_0$ 上的各种滤过：

   • Voisin 滤过：定义为与给定点有理等价点的轨迹维数。
   • Shen–Yin–Zhao (SYZ) 滤过：定义为模空间中对象 $E$ 的第二陈类 $c_2(E)$。
   • Vial 的余根滤过：定义为迭代余乘映射的核。
   • Shen–Yin (SY) 滤过：一种通过单有理除子和圆锥曲线定义的几何滤过。

2. 扭曲关联对应：本文改编了 Chen, Li, Zhang 和 Zhang (CLZZ) 引入的“扭曲关联对应”，证明了扭曲层模空间 $M_\sigma(X, v)$ 的双有理动机与底层 K3 曲面 $S$ 的对称幂 $S^{[n]}$ 的双有理动机同构。该同构保持余代数结构，从而使得滤过结果的转移成为可能。

3. 双重 EPW 四次流形的几何实现：本文利用了一般双重 EPW 四次流形 $Y$ 作为 genus 2 K3 曲面 $S$ 上稳定扭曲层模空间 $M_{(0,H,0)}(S, \beta)$ 的实现。同时，本文还利用了 $Y$ 的另一种几何描述，即作为 Verra 四维流形 $X$ 中 $(1,1)$-圆锥曲线的 Hilbert 概形上的 $\mathbb{P}^1$-丛的底空间。

4. Franchetta 性质与球面扭转：为了解决扭曲 Beauville–Voisin 类的定义问题，作者使用了 Franchetta 性质（在一般定义的循环上，循环类映射的注入性）以及球面扭转构造。该构造将秩为 0 的层（定义双重 EPW 四次流形模空间的层）转化为正秩层，从而使得陈类的比较成为可能。

主要贡献与结果

• 将滤过等价性推广至扭曲 K3 曲面：
  本文证明了对于扭曲 K3 曲面 $X$ 上的稳定对象模空间 $M_\sigma(X, v)$，$CH_0$ 上的 Voisin、Shen–Yin–Zhao 和 Vial 的余根滤过是重合的（定理 1.1 / 命题 3.13）。这将 Shen, Yin 和 Zhao（无扭曲情形）以及 Chen 等人（扭曲情形）的先前结果统一到了一个框架中。

• 零循环等价性的显式判据：
  本文建立了一个显式判据，用于判断两个度数为 $m$ 的有效零循环在 $CH_0(M_\sigma(X, v))$ 中是否相等。两个点之和 $\sum [E_i]$ 和 $\sum [F_i]$ 相等，当且仅当它们在底层 K3 曲面 $S$ 的陈群中，通过第二陈类映射（及其幂）的像一致（命题 1.2 / 命题 3.14）。具体而言：
  $$\sum [E_i] = \sum [F_i] \iff \sum c_2(E_i)^{\times k} = \sum c_2(F_i)^{\times k} \text{ 在 } CH_0(S^k) \text{ 中成立，其中 } k \leq \min(m, n).$$

• 扭曲与无扭曲 Beauville–Voisin 类的相等性：
  本文证明了对于与双重 EPW 四次流形相关的特定扭曲 K3 曲面族（genus 2，2 阶 Brauer 类），扭曲 Beauville–Voisin 类 $o_X$ 与底层曲面的标准 Beauville–Voisin 类 $o_S$ 重合（定理 1.3 / 定理 4.6）。这是通过构造模空间与正秩层模空间之间的同构来实现的，从而将一般定义的类联系起来。

• 双重 EPW 四次流形的零循环结构：
  对于一般的双重 EPW 四次流形 $Y$，本文确立了以下结论：

  • 映射 $ch_2: CH_0(Y) \to CH_0(S)$（通过模空间实现）在同调平凡的反不变部分 $CH_0(Y)^+_{hom}$ 上为零，将 Beauville–Voisin 类 $o_Y$ 映射为 $o_S$，并诱导同构 $CH_0(Y)^- \cong CH_0(S)_{hom}$（定理 1.4 / 定理 4.7）。
  • $Y$ 上的所有四种主要滤过（Shen–Yin, Voisin, SYZ, Vial）均一致，并对应于由反辛对合诱导的特征空间分解（定理 1.5 / 命题 4.9）。
  • 利用相关的 Verra 四维流形 $X$ 提供了零循环等价的几何判据：$Y$ 上的两个零循环等价，当且仅当它们在 $X$ 中对应的圆锥曲线在 $CH_1(X)$ 中等价，且它们的自乘积在 $CH_2(X \times X)$ 中等价（定理 1.6 / 定理 4.10）。

意义
本文声称通过扩展模空间上的零循环理论至扭曲情形，补充了 Chen, Li, Zhang 和 Zhang 的工作，特别是证实了在此背景下各种猜想滤过（Voisin, SYZ, Vial）的一致性。通过将双重 EPW 四次流形实现为扭曲层的模空间，本文提供了一个具体的几何应用实例，使得扭曲零循环的抽象理论可以被显式计算，并与 Verra 四维流形的几何联系起来。证明在此特定情形下 $o_X = o_S$，为“扭曲 Beauville–Voisin 类总是等于无扭曲类”这一猜想提供了证据，从而支持了该情形下的 Franchetta 猜想。这些结果统一了对 $K3^{[2]}$ 型超凯勒簇上零循环的研究，表明通过 Verra 四维流形中圆锥曲线进行的几何构造，与模空间上的动机构造产生了相同的滤过结构。