Diffusion Graph Posterior Sampling for Nonlinear Inverse Problems with Application to Electrical Impedance Tomography

技术摘要：用于非线性逆问题的扩散图后验采样及其在电阻抗断层成像中的应用

问题陈述
成像中的逆问题，特别是那些由偏微分方程（PDE）支配的问题（如电阻抗断层成像 EIT），其特征是严重的病态性和非线性。传统的变分方法依赖于手工设计的正则化，这往往无法捕捉真实世界数据分布中复杂的高维特征。相反，数据驱动的深度学习方法存在引入“幻觉”（物理上不正确但视觉上合理的输出）的风险，并且通常需要对特定任务进行监督训练。

EIT 的一个关键结构性挑战在于，物理域通常使用非结构化三角网格（有限元网格）而非规则网格进行自然离散化。专为像素网格设计的标准卷积架构在此设定下并非最优。将有限元量插值到规则网格会引入几何误差和伪影，这些与正向 PDE 求解器不一致。虽然扩散后验采样（DPS）在逆问题上已显示出前景，但现有框架主要基于网格，缺乏针对非结构化网格数据的原生方法。

方法论
作者提出了一种新颖的框架，即正则化扩散后验采样（RDPS），该方法将 DPS 扩展为直接在图结构数据（非结构化网格）上原生运行。该方法论包含三个核心组件：

1. 基于图的非条件得分网络：
   作者不使用卷积神经网络（CNN），而是采用基于分层 U-Net 架构的多尺度图神经网络（GNN）（DGN$\theta$）。该网络直接在用于域离散化的 2D 三角有限元网格上进行训练。它学习一个非条件得分函数 $\nabla_{x_t} \log p_t(x_t)$，以建模物理解空间（电导率）的先验分布，而无需网格插值。

2. 正则化扩散后验采样（RDPS）：
   为了解决 EIT 的严重病态性问题（即仅凭测量数据不足以唯一确定电导率分布），作者在采样过程中引入了显式正则化项 $R(x)$。

   • 贝叶斯公式： 该方法定义了一个引导的目标后验 $\tilde{p}(x|y) \propto p(y|x)p(x)p_R(x)$，其中 $p_R(x) \propto \exp(-\lambda R(x))$ 充当额外的先验。
   • 采样算法： 反向扩散过程被修改为包含基于梯度的引导步骤。在每个时间步，更新融合了来自三个源的梯度：学习到的扩散先验、数据似然（通过正向算子 $F$）以及显式正则化项。
   • 正则化项： 该框架支持模块化正则化项，具体包括用于保持锐利界面的全变分（TV）、用于空间平滑的广义 Tikhonov 以及标准 Tikhonov。
   • 自适应步长： 采用自适应步长 $\eta_t$，根据当前残差归一化引导校正，以确保在反向扩散轨迹中的稳定性，特别是在高噪声区域。

3. 物理驱动引导：
   正向算子 $F$（通过完整电极模型模拟 EIT 测量过程）直接集成到采样循环中。算法使用 Tweedie 估计器来近似干净信号 $\hat{x}_0(x_t)$，并计算数据保真项相对于噪声状态 $x_t$ 的梯度。

主要贡献

1. 原生网格处理： 开发了一种直接在 2D 三角网格上运行的非条件扩散模型，消除了非结构化网格与规则网格之间插值的需求。
2. RDPS 框架： 引入了一种 DPS 的正则化变体，将隐式扩散先验与显式正则化（TV、Tikhonov）相结合，以稳定高度病态的非线性逆问题。
3. 全面验证： 在合成和真实 2D EIT 数据集上进行了广泛的实验，证明了该方法对噪声的鲁棒性、其泛化到分布外几何形状的能力，以及相较于最先进基线的优越性能。

实验结果
作者评估了提出的 DDIM-RDPS（使用确定性 DDIM 采样器）与多个基线的表现：

• 基线： 正则化高斯 - 牛顿法（RGN-TV）、随机化然后优化 Metropolis-Hastings（RTO-MH）、生成式即插即用（GPnP-BM3D）以及深度后验采样（DP-SGS）。
• 数据集： 具有各种包含物形状（圆形、三角形、团块、马蹄形）的合成数据集，以及一个真实的 2D EIT 数据集。
• 性能指标： 均方误差（MSE）、相对 L2 误差和结构相似性指数（SSIM）。

发现：

• 准确性： RDPS 在重建准确性（更低的 RMSE/RelErr）和结构相似性（更高的 SSIM）方面始终优于所有基线。它在保持锐利边界和几何形状（例如三角形包含物）方面特别有效，而其他方法在这些情况下会产生模糊的边缘或过度简化的几何形状。
• 鲁棒性： 该方法对加性高斯噪声和拉普拉斯噪声均表现出高度鲁棒性。自适应正则化策略使模型能够在无需计算昂贵的网格搜索参数调整的情况下保持性能。
• 泛化性： 该模型很好地泛化到了分布外的包含物几何形状（例如，在圆形上训练并在马蹄形上测试），并成功从真实实验数据中重建了电导率分布，而无需重新训练。
• 消融实验： 在正则化选择中，全变分（TV）为 EIT 产生了最佳结果，这与电导率包含物的分段常数特性相一致。

意义与主张
本文声称，RDPS 通过将生成模型的统计能力与物理完整性相结合，代表了求解非线性 PDE 约束逆问题的一项重大进展。通过在有限元网格上原生运行，该方法避免了基于网格的方法固有的几何误差。在扩散采样过程中集成显式正则化，有效地缓解了 EIT 的严重病态性，产生了稳定、物理合理且忠实于底层物理的重建结果。作者将这项工作定位为无监督生成建模与严谨的物理基础反演之间的桥梁，提供了一个无需特定任务监督训练的灵活框架。