Null player neutrality in TU-games: Egalitarian and Shapley solutions

技术摘要：TU 博弈中的零玩家中立性

问题陈述
在具有可转移效用（TU 博弈）的合作博弈论中，玩家之间的价值分配通常由效率、线性和对称性等结构性公理支配。文献中主导着两种极端的解：Shapley 值，它体现了一种边际主义视角，根据玩家的预期边际贡献给予奖励；以及均分解，它无论个体生产力如何，均将大联盟的价值均匀分配。

Shapley 值经典地由零玩家性质刻画，该性质规定：任何对每个联盟都未做出贡献的玩家，其收益必须为零。尽管这在数学上十分优雅，但该性质蕴含了可能与平等主义或基于需求的分配正义原则（如罗尔斯式公平）相冲突的规范性假设，因为它将非生产性代理人排除在集体财富的任何份额之外。相反，均分解满足另一套直觉，但未能通过零玩家性质。

本文通过引入一个新公理——零玩家中立性，来弥合这些极端之间的差距，从而系统地分析削弱零玩家性质的严格要求如何影响可接受解的集合。

方法论
作者在 TU 博弈框架内采用公理化方法。方法论包括：

1. 定义新公理：本文引入了零玩家中立性及其对偶概念归零玩家中立性。
   • 零玩家中立性：对于任意博弈 $v$ 和两个扩充博弈 $w$ 和 $u$，若玩家 $i$ 在这两个博弈中均为零玩家，且大联盟价值相等（$w(N) = u(N)$），则玩家 $i$ 在扩充博弈中的收益必须相同（$\phi_i(v+w) = \phi_i(v+u)$）。这弱化了经典的联盟战略等价性，后者要求无论扩充博弈的总价值如何，收益均保持不变。
   • 归零玩家中立性：针对“归零玩家”（即那些将任何联盟价值降为零的玩家）的平行公理。
2. 逻辑分析：作者建立了新公理与现有性质（如零玩家性质、联盟战略等价性以及“生产环境中的零玩家”性质）之间的逻辑关系。
3. 刻画定理：利用 unanimity 博弈基和线性性，本文推导了特定解族的必要和充分条件。

主要贡献与结果

1. 线性组合的刻画（定理 2）：
   主要结果表明，效率、线性、对称性和零玩家中立性唯一刻画了由以下公式定义的解族：
   $$\phi = \alpha \phi^{ED} + (1-\alpha) \phi^{Sh}$$
   其中 $\alpha \in \mathbb{R}$。

   • 该解族将已知的 $\alpha$-平等主义 Shapley 值（其中 $\alpha \in [0, 1]$）严格扩展到了任意实数。
   • 该结果推广了 Shapley 的经典刻画：用较弱的零玩家中立性替代零玩家性质，将解集从单点（$\alpha=0$，即 Shapley 值）扩展为单参数族。
   • 本文阐明了零玩家性质是迫使 $\alpha = 0$ 的具体约束。

2. 与现有文献的比较：

   • 与弱单调性对比：本文将其结果与 van den Brink 等人（2013）的研究进行对比，后者利用弱单调性刻画了 $\alpha \in [0, 1]$ 的子族。作者表明，零玩家中立性与弱单调性在逻辑上是独立的，并允许 $\alpha < 0$ 和 $\alpha > 1$，从而严格扩大了可接受集合。
   • 与生产环境性质对比：本文与 Casajus 和 Huettner（2013）的研究进行了比较，后者利用“生产环境中的零玩家”性质刻画了 $\alpha \geq 0$ 的子族。作者证明，在线性性假设下，生产环境性质蕴含零玩家中立性，但反之不成立，这解释了定理 2 更广泛的适用范围。

3. 归零玩家的对偶分析（定理 4）：
   本文引入了针对归零玩家的平行分析。

   • 与零玩家的情况不同，归零玩家中立性被证明等价于联盟标准等价性（命题 2）。
   • 因此，效率、对称性和归零玩家中立性唯一刻画了均分解（$\phi \equiv \phi^{ED}$）。
   • 值得注意的是，与零玩家的情况不同，这一刻画不需要线性性公理。这形成了一个鲜明的二分法：零玩家中立性允许解的连续统，而归零玩家中立性则将解集坍缩为单一解。

意义与主张
本文主张，引入零玩家中立性提供了一个“自然的中间地带”，它在保留效率和对称性的结构纪律的同时，放宽了零玩家性质的规范性严格程度。

• 规范性含义：这种放宽允许那些可以补偿零玩家（当 $\alpha > 1$ 时）或相对于 Shapley 值惩罚均分成分（当 $\alpha < 0$ 时）的解，为研究团结和再分配提供了更灵活的公理基础。
• 结构洞察：这项工作突出了合作博弈论中的一个根本不对称性：对零玩家（不增加价值者）的处理允许分配的谱系，而对归零玩家（破坏价值者）的处理则严格强制实行均分。
• 理论统一：通过将 $\alpha$-平等主义 Shapley 值扩展到 $\alpha \in \mathbb{R}$，本文提供了一个统一的框架，涵盖了边际主义和平等主义的极端，以及它们之间及之外的线性组合。

作者保持谦逊的立场，指出其刻画依赖于所选的特定公理集，并且这些公理的独立性（在备注 3 和 6 中证明）证实了推导出的结果中每个条件的必要性。