Semiorthogonal decompositions for stacks

技术摘要：栈的半正交分解

问题陈述
本文致力于构建准光滑导出代数栈 $X$（定义在 $\mathbb{C}$ 上）的相干层导出范畴 $\text{Coh}(X)$ 的系统性半正交分解（SOD）。尽管 Ballard–Favero–Katzarkov、Halpern-Leistner、Špenko–Van den Bergh 以及 Pădurariu–Toda 等人在先前的工作中已建立了线性商栈及特定模空间（如箭图表示或曲线上的向量丛的模空间）的 SOD，但这些构造往往依赖于特定的线性结构或需要限制性的稳定性条件。挑战在于将这些分解推广到源自内在唐纳森 - 托马斯（DT）理论的一大类非线性的准光滑栈，包括一般约化群 $G$（不仅限于 $A$ 型）的 $G$-丛、Higgs 丛、联络及局部系统的模栈。

方法论
作者采用了内在唐纳森 - 托马斯理论（在文献 [17–19] 中发展）的框架，定义了一种称为分量格（component lattice）的组合结构，记为 $\text{CL}_\mathbb{Q}(X)$。该格编码了 $X$ 中点的自同构群的余特征标和 Weyl 群。

方法论通过以下步骤进行：

1. 分量格与分级点：分解由有理化的分量格 $|\text{CL}_\mathbb{Q}(X)| = \pi_0 \text{Map}(\ast/\mathbb{G}_m, X)$ 索引。每个元素 $\lambda$ 对应一个分级点栈 $X_\lambda$ 和一个滤过点栈 $X^+_\lambda$。
2. Hall 诱导：作者利用通过对应关系 $X_\lambda \xleftarrow{\text{gr}_\lambda} X^+_\lambda \xrightarrow{\text{ev}_\lambda} X$ 定义的Hall 诱导函子 $\star_\lambda: \text{Coh}(X_\lambda) \to \text{Coh}(X)$。该函子推广了抛物诱导函子。
3. 窗口子范畴：对于每个 $\lambda$，定义了一个“窗口子范畴” $W_{X_\lambda}(\delta_\lambda) \subset \text{Coh}(X_\lambda)$。这些是由相对于 $X_\lambda$ 上 $\mathbb{G}_m$-作用的权重条件确定的全子范畴，由格上的线性函数 $\delta: \text{CL}_\mathbb{Q}(X) \to \mathbb{Q}$ 和二次范数 $q$ 居中。
4. 局部到全局论证：
   • 线性情形：首先为线性商栈 $V/G$（其中 $V$ 是准对称表示）建立分解（定理 2.1.6）。
   • 光滑情形：利用具有好模空间的光滑栈在 étale 局部上由线性商建模这一事实，通过下降论证将结果全局化（定理 3.2.3）。
   • 准光滑情形：对于准光滑栈（它们是 $(-1)$-移位辛栈的局部模型），作者利用Koszul 对偶将 $\text{Coh}(X)$ 与光滑栈上的矩阵分解范畴 $\text{MF}(Y, f)$ 联系起来。随后将矩阵分解的分解（定理 3.5.4）转移回准光滑设定（定理 4.1.3）。
5. 奇异支集：该构造被细化为包含奇异支集包含在饱和闭子集 $Z \subset |T^*[-1]X|$ 中的对象子范畴（定理 4.3.3）。

主要贡献与结果
本文为一类广泛的模栈提供了统一的 SOD 构造。主要结果如下：

• 一般分解（定理 4.1.3）：对于具有好模空间的准对称、准光滑、qca 导出栈 $X$，存在一个 SOD：
  $$\text{Coh}(X) = \left\langle \star_\lambda W_{X_\lambda}(\delta_\lambda) \mid \lambda \in |\text{CL}_\mathbb{Q}(X)| \right\rangle$$
  直和项由分量格索引，并按 $\lambda$ 的 $q$-范数排序。函子 $\star_\lambda$ 是全忠实的，且其像是可容许的且为 $\text{Perf}(X)$-线性的。

• 奇异支集分解（定理 4.3.3）：对于具有在饱和子集 $Z$ 中奇异支集的相干层子范畴 $\text{Coh}_Z(X)$，存在一个平行的分解。这对于幂零锥尤为相关。

• 矩阵分解（定理 3.5.4）：在光滑栈上为矩阵分解范畴 $\text{MF}(X, f)$ 构建了 SOD，该范畴作为 DT 理论中临界范畴的局部模型。

• 具体应用：该理论被应用于获得以下模栈的显式 SOD：

  • 曲线上的半稳定 $G$-丛（$\text{Bun}^{ss}_G$）、$G$-Higgs 丛（$\text{Higgs}^{ss}_G$）和 $G$-联络（$\text{Conn}_G$）的模栈。
  • 2-流形上 $G$-局部系统（$\text{Loc}_G$）的模栈。
  • 箭图和预射影代数的半稳定表示的模栈。
  • 曲面上的半稳定相干层的模栈。

在这些例子中，直和项由 $G$ 的 Levi 子群 $L \subset G$ 和特定的权重参数索引，推广了先前通常局限于 $GL(n)$ 或需要复杂排序条件的结果。

意义与主张
本文声称提供了一种系统性且通用的构造，消除了先前对约化群类型（允许非 $A$ 型群）和栈性质（从线性范畴扩展到内在 DT 栈）的限制。

• 排序的简化：作者指出，与先前的工作（例如 [64; 68; 71]）相比，他们的方法对直和项排序的描述要简单得多。顺序由格元素的 $q$-范数决定，而早期的方法通常需要复杂的稳定性细化或繁琐的不等式。
• 范畴化 DT 理论：这些分解被呈现为上同调整性的范畴类比。被称为拟 BPS 范畴的直和项旨在范畴化 BPS 不变量。本文指出，虽然加性不变量（如周期循环同调）不能直接恢复上同调整性分解，但这些范畴的结构预计对于理解范畴化 DT 理论和 BPS 结构是根本性的。
• 几何朗兰兹：$\text{Conn}_G$ 和 $\text{Loc}_G$ 等栈的分解与几何朗兰兹纲领相关联。作者提出了 Dolbeault 几何朗兰兹猜想的精炼版本以及 de Rham 情形的类似猜想（猜想 4.4.9），表明窗口子范畴对应于朗兰兹等价下 D-模的特定微局部范畴。
• 局限性：作者谦逊地表示，他们并未证明这些范畴分解与通过加性不变量得到的 BPS 上同调分解的等价性，也未完全刻画拟 BPS 范畴的结构（例如，它们是否是非交换解析）。这些被确定为未来工作的方向。

总之，本文建立了一个稳健的组合框架，用于分解准光滑栈上相干层的导出范畴，统一了各种已知结果，并将它们扩展到现代枚举几何和表示理论中更广泛的几何背景。