Convergence criteria for Frullani-type integrals involving differences of cosines

技术摘要：涉及余弦差分的 Frullani 型积分的收敛性判据

问题陈述
本文研究了由下式定义的一类反常积分：
$$I_{p,q}(\alpha, \beta) := \int_0^\infty \frac{(\cos \alpha x - \cos \beta x)^p}{x^q} \, dx$$
其中 $p, q \in \mathbb{N}$ 且 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$，满足 $|\alpha| \neq |\beta|$。虽然经典的 Frullani 积分（$p=1, q=1$）已被充分理解，且特定情形（如 $p \ge q$ 且 $q$ 为偶数）此前已由 Laoharenoo 和 Boonklurb（2022）分析过，但所有参数范围内的总体收敛行为及显式求值仍未被分类。被积函数面临双重挑战：$x=0$ 处潜在的奇点以及无穷上限，且由于余弦项被提升至任意幂次，其振荡性质使问题更加复杂。

方法论
作者采用渐近分析、三角幂展开及求和技巧相结合的方法来解决问题：

1. 三角展开：分析的核心在于将 $(\cos \alpha x - \cos \beta x)^p$ 展开为无幂次余弦项（或正弦差变体中的正弦项）的线性组合。本文利用两种不同的展开策略：
   • 一种展开（引理 3.6）经过优化，旨在通过识别常数项和频率抵消来确定收敛性。
   • 第二种展开（引理 4.1）专为显式求值设计，利用二项式系数和特定的组合索引。
2. 奇点分析：
   • 对于 $x \to 0$，利用泰勒展开确定分子零点的阶数。这确立了被积函数在原点附近表现为 $x^{2p-q}$。
   • 对于 $x \to \infty$，作者分析了相对于 $x^{-q}$ 的衰减速率以及振荡抵消性质。
3. 阿贝尔求和：为了计算积分，作者对余弦项级数应用阿贝尔求和公式。该技巧将余弦和的积分转化为对数项之和（针对 $q=1$），或利用已知的 $\int_0^\infty \frac{\sin kx}{x} dx$ 值（针对偶数 $q$）。
4. 组合恒等式：在 $\alpha = 0$ 的特殊情形下，分析展开式的系数以推导涉及二项式系数和类范德蒙德行列式的新组合恒等式。

主要贡献与结果

1. 完整的收敛性分类
本文基于 $p$ 的奇偶性以及 $p$ 与 $q$ 之间的关系，提供了严格的收敛性分类：

• 情形 $q = 1$：
  • 若 $p$ 为偶数，则对于所有 $|\alpha| \neq |\beta|$，积分发散。这是通过证明展开式包含非零常数项，从而导致对数发散来证实的。
  • 若 $p$ 为奇数，当且仅当比值 $|\alpha/\beta|$（或其倒数）属于特定集合 $F_p$ 时，积分发散。该集合 $F_p$ 由三角展开中频率抵消产生常数项的索引所导出的有理数构建而成。若比值不在 $F_p$ 中，则积分收敛。
• 情形 $q \ge 2$：
  • 若 $q \ge 2p + 1$，积分发散。$x=0$ 处的奇点过强，分子无法补偿。
  • 若 $2 \le q \le 2p$，积分收敛。在此范围内，$x=0$ 处的行为是可积的，且无穷远处的衰减足够。

2. 显式闭式求值
对于所有收敛情形，作者推导了显式公式：

• 对于 $q=1$（$p$ 为奇数）：该值表示为涉及展开分量频率的对数项有限和，权重为展开系数的部分和。
• 对于 $q \ge 2$：
  • 若 $q$ 为偶数，该值为涉及频率幂次和二项式系数的有限和，并缩放 $\pi$ 倍。
  • 若 $q$ 为奇数，该值为对数项的有限和，类似于 $q=1$ 的情形，但通过对被积函数求导推导得出。

3. 特殊情形 $\alpha = 0$ 与组合恒等式
当 $\alpha = 0$ 时，积分简化为涉及 $(1 - \cos \beta x)^p$ 的形式。作者推导了余弦展开系数的显式形式。通过将系数与由半角公式和欧拉恒等式导出的系数相等，本文建立了将二项式系数之和与特定有理数联系起来的新组合恒等式。

4. 向正弦差分的扩展
该方法被扩展至涉及 $(\sin \alpha x - \sin \beta x)^p$ 的类似族 $K_{p,q}(\alpha, \beta)$。

• 对于 $q=1$，当且仅当 $p$ 为奇数时收敛。
• 对于 $q \ge 2$，当且仅当 $q \le p$ 时收敛。
  本文指出，正弦差分的收敛性判据与余弦差分略有不同，特别是关于 $p$ 的奇偶性。

意义与主张
作者指出，这项工作提供了对一般族 $I_{p,q}(\alpha, \beta)$ 的首次系统分析，填补了文献中的空白，因为此类积分此前未在主要汇编中记录。本文主张：

• 建立收敛参数的完整分类，解决先前研究遗留的情形（特别是 $q=1$ 时的奇数 $p$ 情形以及一般的 $q \ge 2$ 情形）。
• 推导所有收敛情形的显式闭式求值，扩展了 Laoharenoo 和 Boonklurb（2022）的工作。
• 揭示这些解析积分与组合恒等式之间的自然联系，特别是在 $\alpha=0$ 的情形下。
• 证明收敛行为高度依赖于 $p$ 的奇偶性，以及在 $q=1$ 情形下 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间的特定有理关系。

本文最后指出，虽然由于收敛性判据不同，余弦族与正弦族之间的关系并非直接，但这种统一的方法论为未来研究正弦与余弦差分的混合乘积提供了框架。