A hybrid Volume of Fluid Phase-Field method for Direct Numerical Simulations of soluble surfactant-laden interfacial flows

本文提出了一种结合自适应网格细化的混合体积流体相场方法，用于对可溶性表面活性剂负载流动进行直接数值模拟，该方法能够精确捕捉体相与界面输运之间的耦合，从而阐明马兰戈尼应力如何在三维几何构型中显著改变气泡上升动力学。

要点

以下是用简单语言和创意类比对该论文的解读。

宏观图景：模拟“含皂”水的新方法

想象你正在观察一个气泡穿过一杯水上升。如果水是纯净的，气泡会笔直地快速上升，虽然会有些许晃动。但如果你在水中加入肥皂（表面活性剂），气泡的行为就会不同。它可能会变慢、晃动得更厉害，甚至改变路径。

这是因为肥皂分子喜欢附着在气泡表面。当气泡移动时，这些分子会被推来推去，在气泡的“皮肤”上产生不均匀的“张力”。这种不均匀的张力就像看不见的手，从不同方向推挤气泡，从而改变其运动方式。

问题所在：
在计算机上模拟这一过程极其困难。这就像试图用一台具有两个冲突设置的相机来拍摄肥皂泡：

1. 锐利相机： 需要将气泡边缘视为 razor-thin（极薄）的线条（以计算压力和形状）。
2. 模糊相机： 需要将肥皂分子视为在该边缘平滑扩散（以计算肥皂的运动）。

大多数计算机方法迫使你只能选择一种相机设置，导致模拟要么在物理上不准确，要么对于复杂的 3D 形状来说在计算上无法运行。

解决方案：
本文作者构建了一种混合方法。这就像是一个“分屏”模拟，同时利用了双方的优势：

• 锐利边缘（流体体积法）： 他们使用一种方法保持气泡边缘锐利，并完美地守恒液体量（就像高清轮廓）。
• 平滑肥皂（相场法）： 他们使用第二层“模糊”层，作为肥皂分子行驶的平滑高速公路。这使得肥皂能够在水和气泡表面之间自然移动，而不会卡住或丢失。

工作原理：“交通控制器”类比

为了实现这一目标，作者为肥皂分子创建了一个数字交通系统：

1. 高速公路（界面）： 气泡表面是一条繁忙的高速公路。肥皂分子是汽车。
2. 入口和出口匝道（吸附/脱附）：
   • 吸附： 来自水体（本体）的肥皂分子想要跳上高速公路（气泡表面）。
   • 脱附： 肥皂分子累了，从高速公路上跳回水中。
   • 新方法精确计算每一时刻有多少汽车上下匝道，确保没有汽车凭空消失或出现。
3. 交通堵塞（马兰戈尼应力）： 当太多肥皂汽车在气泡上的某一点堆积时，该点会变得“粘滞”（高张力）。气泡皮肤试图从粘滞点拉开，产生一种力，使气泡减速或晃动。模拟完美地捕捉到了这种拔河。

他们测试了什么（“驾驶测试”）

在让新车上路之前，他们通过驾驶学校的三项特定测试：

1. 拉伸测试（膨胀球体）： 他们吹大一个覆盖着肥皂的气泡。他们检查了随着气泡变大，肥皂是否均匀扩散。模拟结果与数学计算完美匹配。
2. 旋转测试（旋转气泡）： 他们旋转一个带有肥皂的气泡。他们检查了肥皂是否正确地沿圆周移动而没有泄漏。同样，模拟结果准确无误。
3. 交换测试（平壁）： 他们观察肥皂从水移动到平壁再返回的过程。他们测试了三种情况：
   • 仅跳跃上去： 肥皂会粘住吗？是的。
   • 仅跳下来： 肥皂会离开吗？是的。
   • 两者兼有： 它会找到平衡吗？是的。

重头戏：上升的气泡

最后，他们让新方法模拟气泡在 3D 水箱中上升。

• 清洁气泡： 它上升得相对较快且笔直。
• “不溶性”肥皂气泡： 肥皂粘在表面无法离开。它在气泡后部造成了强烈的“交通堵塞”，显著减慢了气泡的速度。
• “可溶性”肥皂气泡（真实情况）： 这是新方法大放异彩的地方。肥皂可以跳上跳下气泡。
  • 如果肥皂容易跳下（高“脱附”），气泡的行为几乎像清洁气泡一样。
  • 如果肥皂容易跳上（高“吸附”），气泡的行为就像粘滞肥皂版本一样。
  • 在中间状态下，气泡展现出复杂的舞蹈：它减速、改变路径，并在上升时在水身后留下一条肥皂“轨迹”。

为什么这很重要（根据论文）

作者声称该方法稳健、可扩展且准确。

• 稳健： 当气泡形状怪异或破裂时，它不会崩溃。
• 可扩展： 它可以在超级计算机上运行，高效地处理巨大、复杂的 3D 模拟。
• 准确： 它能正确预测气泡上升的速度和晃动方式，与现实世界的物理现象相符。

简而言之： 他们构建了一种新的数字引擎，终于能够模拟肥皂泡在 3D 空间中的行为，处理气泡形状与在其皮肤上上下移动的肥皂分子之间微妙的舞蹈，同时既不损失精度，也不会导致计算机崩溃。

技术摘要

技术摘要：一种用于含可溶性表面活性剂界面流动的混合体积流体与相场方法

问题陈述
由于该问题具有多尺度和多物理场的特性，对涉及可溶性表面活性剂的界面流动进行精确数值模拟构成了巨大挑战。与不溶性表面活性剂不同，可溶性物质的行为受耦合系统支配，该系统包含体对流 - 扩散、界面输运以及动力学交换（吸附/脱附）过程。这些相互作用产生了随空间和时间变化的表面张力场，从而引发马兰戈尼应力，显著改变流动拓扑结构、稳定性及运动状态。现有的数值方法面临各自独特的局限性：

• 边界积分/单元法： 仅限于斯托克斯流（Stokes flow）区域，且难以处理拓扑变化（破裂/聚并）。
• 前沿追踪法（Front-Tracking）： 精度高，但在三维情况下实现复杂，需要显式的拓扑处理，并在并行计算中面临负载均衡问题。
• 水平集方法（Level-Set Methods）： 自然处理拓扑变化，但常受质量守恒问题困扰，需要重新初始化及事后修正。
• 相场方法（Phase-Field Methods）： 自然处理拓扑变化，但通常依赖热力学平衡假设，而强对流可能违反这些假设，导致质量不守恒。
• 体积流体法（VoF Methods）： 在质量守恒和锐利界面方面表现优异，但传统上难以定义零厚度界面上进行表面活性剂输运所需的表面微分算子。

因此，迫切需要一种基于几何 VoF 的方法，该方法支持自适应网格细化（AMR），能够处理具有动态体 - 界交换的可溶性表面活性剂，并在可扩展的开源框架中运行。

方法论
作者在开源代码 Basilisk 中提出了一种混合数值框架，该方法将几何体积流体（VoF）方法与扩散相场方法相结合。

1. 界面表示：

   • VoF ($c$)： 一个标量场，代表一种流体的体积分数，用于保守的界面追踪和动量求解。它确保精确的质量守恒并支持几何重构。
   • 相场 ($\phi$)： 一个辅助变量，通过基于 Allen-Cahn 的精确守恒扩散界面（ACDI）公式演化。它作为表面活性剂输运的光滑载体，提供正则化的法向量、曲率和表面梯度，而无需在锐利界面上进行显式的表面导数计算。
   • 耦合： 相场定期使用有符号距离函数从 VoF 场重新初始化，以保持一致性。

2. 控制方程：

   • 流体运动： 包含空间变化密度和粘度的不可压缩纳维 - 斯托克斯方程。表面张力力作为体积体力引入：各向同性毛细力 ($\sigma \kappa \mathbf{n} \delta_s$) 和切向马兰戈尼力 ($\nabla_s \sigma \delta_m$)。
   • 表面活性剂输运： 求解两个标量场：体浓度 ($F$) 和界面浓度 ($f$，$\Gamma$ 的体表示)。
     • 界面输运方程经过正则化处理以避免表面导数，将表面浓度 $\Gamma$ 转换为局限于扩散界面内的体场 $f = \Gamma \delta_\phi$。
     • 动力学： 吸附和脱附通过位于界面的正则化源/汇项 ($J$) 进行建模，连接体浓度和界面浓度。该模型支持一般状态方程（例如朗缪尔等温线），以将表面张力与浓度联系起来。

3. 数值离散化：

   • 空间： 在动态细化的四叉树/八叉树网格（AMR）上进行有限体积离散化。分辨率集中在界面附近，以解析浓度和流动中的陡峭梯度。
   • 时间： 采用算子分裂法。平流项采用显式处理（几何无分裂 Bell–Collela–Glaz 格式），而扩散、反扩散和源项则使用改进的多重网格泊松求解器进行隐式处理。
   • 稳定性： 基于有效速度强制执行库朗 - 弗里德里希斯 - 列维（CFL）条件，该有效速度包含对流和反扩散贡献，以确保在存在强界面梯度时的稳定性。

主要贡献

• 混合框架： 开发了一种方法，既保留了 VoF 的质量守恒和锐利界面优势，又利用相场变量仅作为表面活性剂输运的光滑载体，从而避免了在分段线性界面上进行表面导数计算的几何复杂性。
• 可溶性表面活性剂能力： 将先前仅限于不溶性表面活性剂的 VoF-相场工作扩展至完全可溶的情况，引入了耦合的体对流 - 扩散和动力学交换项。
• 可扩展性与自适应性： 该框架完全自适应（AMR），支持二维、轴对称和三维配置，具有高度的并行可扩展性，能够解析体场和界面场中的多尺度梯度。
• 开源实现： 该方法在 Basilisk 中实现，为社区提供了一个可重现且易于获取的工具。

结果与验证
本文通过一系列基准测试和应用案例验证了该方法：

1. 无流动验证：

   • 膨胀球体（3D）： 验证了各向同性膨胀过程中不溶性表面活性剂稀释的解析解恢复情况。
   • 旋转界面（2D）： 确认了移动界面上不溶性表面活性剂对流 - 扩散的二阶收敛性。
   • 平界面上的吸附/脱附： 将耦合的体 - 界面求解器针对恒定通量吸附、纯脱附以及完整朗缪尔动力学的解析解进行了验证。该方法正确捕捉了向平衡状态的过渡以及体相中耗尽层/富集层的形成。

2. 轴对称上升气泡：

   • 不溶性极限： 证明了由于马兰戈尼应力导致的终端上升速度降低，且随着表面活性剂浓度降低，结果收敛至清洁界面极限。
   • 可溶动力学： 系统性地改变了毕奥数（脱附）和达姆科勒数（吸附）。
     • 高毕奥数（快速脱附）： 随着表面活性剂从界面快速移除，系统趋近于清洁界面极限。
     • 高达姆科勒数（快速吸附）： 随着界面快速饱和，系统趋近于表面不可压缩（不溶性）极限。
   • 流动结构： 可视化显示气泡后部形成了表面活性剂的“停滞帽”，抑制了内部再循环并改变了尾流结构。

3. 三维上升气泡：

   • 含可溶性表面活性剂的三维气泡上升模拟捕捉到了复杂现象，包括形状变形、横向轨迹偏差（螺旋运动）以及由于脱附形成的尾迹羽流。
   • 该方法在三维中成功恢复了清洁和不溶性渐近极限，证明了其在处理非定常流动模式和变形几何形状方面的鲁棒性。

意义与主张
本文声称提供了一种稳健且通用的数值框架，弥合了经典不溶性表面活性剂模型与真实可溶性公式之间的差距。其意义在于：

• 统一处理： 它在单个开源平台内处理非线性耦合、演化界面以及完全三维配置。
• 物理保真度： 它捕捉了流体动力学、体/界面输运与马兰戈尼应力之间的复杂相互作用，而无需依赖湍流闭合模型或经验近似。
• 实际适用性： 该方法适用于涉及界面重连（例如射流破裂、破碎波浪）的自由表面流动，且存在工业和生物相关的可溶性表面活性剂。

作者谦逊地指出，由于离散化中固有的数值扩散，当前框架仅限于中等佩克莱特数（Péclet numbers）。他们指出，在高佩克莱特数（对流主导）区域精确解析尖锐界面梯度是未来工作的挑战，目标是开发最小化数值扩散的公式。