Differential graded Hopf algebra structure on free symmetric cosimplicial operads

技术摘要：自由对称余单纯算子的微分分次 Hopf 代数结构

问题与动机
本文致力于在自由对称连通乘法微分分次（dg）算子上构建代数结构。受 Batkam 和 Tcheka 关于 pointed 乘法算子近期工作的启发，作者旨在建立一个全面的代数框架，将关于结合算子的已知结果推广到更一般的自由对称算子背景中。具体而言，该工作旨在利用算子复合、余单纯结构与张量积之间的相互作用，在这些算子上构建新的链复形代数、双复形代数以及微分分次 Hopf 代数结构。

方法论
作者采用了一种基于加法对称幺半范畴（具体为域 $K$ 上的向量空间）上算子理论的构造性方法。方法论通过以下步骤展开：

1. 定义与预备知识：文章确立了 $\Sigma$-dg 算子的必要定义，包括部分复合与总复合、等变性以及微分。文章区分了乘法算子（拥有一个零度双输入元素 $\mu$）与pointed或连通算子（在 arity 0 拥有一个基点 $1_0$）。
2. 余单纯结构构造：对于自由 pointed 乘法 dg 算子，作者利用与乘法 $\mu$ 和基点 $1_0$ 的部分复合，定义了余面（$D^i$）和余退化（$s_i$）映射。这些映射诱导了一个边界算子 $\partial$（余退化的交错和）和一个上边界算子 $\delta$（余面的交错和）。
3. 代数积定义：
   • $\odot$ 积通过乘法 $\mu$ 定义为 $x \odot y = (\mu \circ_2 y) \circ_1 x$。
   • 在算子分量的张量积上定义了一个扭曲洗牌积（记为 $\nabla$），该定义融入了洗牌的符号以及对称群的作用：$x \nabla y = \sum_{\sigma \in \Sigma(p,q)} \text{sgn}(\sigma)(x \odot y) \cdot \sigma^{-1}$。
4. Hopf 代数构造：在非微分分次情形（集中在零度）下，作者利用由迭代余退化导出的特定线性映射（$es^j_k$）定义了一个余积 $\Delta$。他们验证了该余积与代数结构的相容性，并基于生成元的输入数量递归地构造了一个对极 $A$。

主要贡献与结果

• 双复形与链复形代数：作者证明，对于自由对称连通乘法 dg 算子 $(O, d)$：

  • 对 $((O, d), \odot)$ 构成一个链复形代数。
  • 三元组 $((O, d), \partial, \odot)$ 和 $((O, d), \delta, \odot)$ 构成双复形代数。
  • 三元组 $((O, d), \nabla)$ 构成一个扭曲微分分次代数，这将结合算子（$Ass$）上的 Malvenuto-Reutenauer 扭曲代数结构进行了推广。

• 微分分次 Hopf 代数结构：聚焦于算子集中在零度（$d=0$）的情形，文章构建了一个微分分次 Hopf 代数结构。

  • 余积：通过映射 $\Delta: O(k) \to \bigoplus_{j=0}^k O(j) \otimes O(k-j)$ 建立了一个余增广微分分次余代数结构。
  • 对极：定义了一个递归对极 $A$，满足所需的对极恒等式。
  • 主要定理：证明了五元组 $((O, \delta), \odot, \eta, \Delta, \epsilon)$ 是一个微分分次 Hopf 代数。

• 诱导结构：该构造自然地在自同态环 $\text{End}(O)$ 上诱导了一个卷积代数结构。这导致了 Adams 上链运算（$\phi_k$）的定义，并确立了这些运算在卷积下构成一个幺半群。此外，卷积积通过交换子括号在 $\text{End}(O)$ 上诱导了一个李代数结构。

• **在结合算子（$Ass$）上的应用**：该理论被应用于结合算子$Ass = \bigoplus_{n \geq 0} K[S_n]$。作者证明，所构造的余积$\Delta$ 与经典的 Malvenuto-Reutenauer 余积 $\Delta_{MR}$ 一致（在将域 $K$ 识别为环 $\mathbb{Z}$ 的前提下）。因此，本文确认 $Ass$ 携带一个微分分次 Hopf 代数结构，从而将经典的 Malvenuto-Reutenauer 结果推广到更广泛的自由对称连通乘法算子类。

意义
本文声称通过证明每一个自由对称连通乘法算子都自然地携带一个微分分次 Hopf 代数结构，从而推广了 Malvenuto-Reutenauer 的结果。通过将余单纯结构与算子复合及 $\odot$ 积相统一，该工作为在同调中解释乘法结构提供了一个通用框架。扭曲微分分次代数的构造及其随后的 Hopf 代数结构，为研究同伦不变代数结构及其层级提供了新工具，特别是在有理同伦理论和图复形的背景下。对自同态环上诱导的卷积代数和李代数结构的识别，进一步将算子理论与 Adams 运算等经典代数运算联系起来。