Primary Constraints of Newer General Relativity

本文通过对新广义相对论拉格朗日量进行完全非线性分解，分析了其主约束结构，在恢复已知的张量与矢量约束的同时，识别出标量扇区中一个此前未被报道的简并性，该简并性根据理论参数的不同会导出一个或两个额外的约束。

要点

想象宇宙是一个巨大而灵活的蹦床。几十年来，物理学家一直利用阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论来描述重物（如恒星）如何使这个蹦床发生弯曲，从而产生我们称之为引力的力。爱因斯坦的模型通过了所有考验，从追踪行星到探测引力波。

然而，就像一辆运行完美但发出神秘引擎噪音的汽车一样，我们目前对引力的理解也存在一些“噪音”。我们在宇宙中看到的一些现象（如暗物质和暗能量），如果不添加不可见的成分，我们的方程就无法完全解释。此外，我们也知道，在黑洞的中心，爱因斯坦的数学公式会失效。因此，科学家们正在构建新的、实验性的引力模型，以看看它们是否能解决这些问题。

本文是对一种名为新广义相对论（Newer General Relativity）的新模型进行的技术性“安全检查”。

新模型：一种不同的拉伸方式

在爱因斯坦的原始理论中，引力是由时空（蹦床）的曲率（即蹦床的弯曲）引起的。而在“新广义相对论”中，作者探索了一个不同的概念：引力是否可能源于蹦床网格线的拉伸或扭曲，而非弯曲本身？

他们将此称为非度量性（Nonmetricity）。想象一下，当你穿过蹦床时，即使表面本身没有弯曲，蹦床的网格线也会变得拉伸或挤压不均。该理论允许五个不同的“旋钮”（称为$c_1$到$c_5$的数学系数），用于控制拉伸以不同方式发生的程度。

问题：部件过多？

当你构建一个新的物理理论时，必须确保它没有“幽灵”（预测不可能事物的数学错误）或“多余的轮子”（导致数学不稳定的不必要变量）。

为了检查这一点，作者进行了哈密顿分析。这就像拆解引擎以观察活塞如何运动。他们考察了以下两者之间的关系：

1. 速度：“网格线”变化的快慢。
2. 动量：与该变化相关的“推力”或能量。

在一个健康的理论中，如果你知道推力，就能推算出速度，反之亦然。但在这个新理论中，取决于你如何调节那五个“旋钮”，推力与速度之间的映射关系可能会断裂。如果映射断裂，意味着该系统存在一阶约束（Primary Constraints）。

发现：“约束”过滤器

作者发现，这个新理论就像一个具有三个不同部分的复杂过滤器：张量（Tensor）、矢量（Vector）和标量（Scalar）。

1. 张量部分（5 孔过滤器）：
   想象一个有五个孔的筛子。如果作者将旋钮调节到正确的位置（具体来说，如果第一个旋钮$c_1$为零），五个“推力”变量就会被卡住。它们无法自由移动。这就产生了5 个约束。这部分已被其他科学家所知。

2. 矢量部分（3 孔过滤器）：
   这就像一个有三个孔的筛子。如果旋钮设置为特定组合（$2c_1 + c_2 + c_4 = 0$），三个额外的变量就会被卡住。这就产生了3 个约束。这也早为人知。

3. 标量部分（新发现）：
   这是最有趣的部分。作者发现了数学中一个此前隐藏的“陷阱”。

   • 情形 A：对于大多数设置，这部分就像一个有1 个孔的筛子，产生1 个约束。
   • 情形 B：但是，如果将旋钮调节到非常特定且罕见的组合，整个部分就会坍塌。它就像一个有2 个孔的筛子，产生2 个约束。

   重大揭示：之前的研究错过了第二种可能性。他们曾认为这部分永远只有一个约束。作者证明，根据设置的不同，这里可以有一个或两个“卡住”的变量。

最终计数：有多少条规则？

通过混合搭配这三个部分，作者为该理论的所有可能版本创建了一份完整的“菜单”。他们发现，该理论必须遵循的规则（约束）总数可以是：

• 1、2、3、4、5、6、8、9 或 10。

等等，7 在哪里？
作者指出了一个有趣的代数怪癖：你永远无法恰好拥有7个约束。如果你试图调节旋钮以获得 7 个，数学会迫使你意外地得到 8、9 或 10 个。这就像试图用 7 块积木搭建一座塔，但物理定律迫使你要么加上第 8 块，要么移除一块使其变成 6 块。

这为何重要？

本文并没有宣称“这个理论是赢家”或“这解释了暗能量”。相反，它充当了一个诊断工具。

• 它确切地告诉我们，“新广义相对论”的哪些版本在数学上是稳定的，哪些可能是有缺陷的。
• 它纠正了先前论文中的错误，那些论文忽略了标量部分中“双约束”的可能性。
• 它为未来的工作奠定了基础。在我们能够询问该理论是否解释了宇宙之前，我们首先需要确切知道它有多少个“活动部件”（自由度）。本文为我们计算了这些部件。

简而言之，作者拆解了一个复杂的实验性引力理论，并精确绘制了“刹车”（约束）所在的位置，揭示了一种此前无人察觉的隐藏复杂性。

技术摘要

技术摘要：新广义相对论的主要约束

问题陈述
新广义相对论（Newer GR）是一种基于无挠率挠率平行几何的引力理论，其引力作用量由非度量张量的二次组合构成，并带有任意系数 $c_i$。尽管先前的研究已探讨了该理论的特定方面，如引力波传播和后牛顿极限，但最一般模型的传播自由度数量仍不明确。确定这一数量对于表征潜在病理（如鬼态、强耦合问题和不稳定性）至关重要。表征过程中的关键第一步是哈密顿分析，特别是识别源于勒让德变换奇异性的主要约束。此前尝试对这些约束进行分类的工作（ notably 参考文献 [41]）在赫塞行列式（Hessian determinant）和标量部分简并条件方面存在不一致性。

方法论
作者执行了狄拉克 - 伯格曼（Dirac-Bergmann）算法的初始阶段以识别主要约束。方法论步骤如下：

1. 正则变量：该理论在度规 - 仿射框架下处理，其中度规 $g_{\mu\nu}$ 和联络是独立的，尽管联络被约束为无挠率且平坦（对称挠率平行）。作者重点关注与度规共轭的动量。
2. 赫塞矩阵分析：正则动量是通过对拉格朗日量关于度规速度求导而导出的。速度与动量之间的关系由赫塞矩阵（Hessian matrix）支配。主要约束对应于该赫塞矩阵的核（零空间）。
3. 谱分解与不可约分解：为了分析核，作者采用了两种互补的方法：
   • 谱分解：他们将非度量张量和赫塞算子分解为对应于矢量、张量和标量部分的不变子空间。这使得算子可以对角化，并识别在特定参数条件下消失的特征值。
   • 不可约分解（ADM）：他们利用度规的 ADM 分解，将赫塞矩阵用时移（lapse）、空间位移（shift）和空间度规变量表示。他们显式地用标量、矢量和张量模式构建了核元素，以验证谱分析结果。
4. 协变表述：本文还探索了一种协变哈密顿处理，通过引入类标架变量 $e^a_\mu = \partial_\mu \xi^a$ 来降低联络中的导数阶数，从而避免将联络视为基本二阶导数变量所引发的奥斯特罗格拉茨基（Ostrogradsky）不稳定性。

主要贡献与结果
本文基于赫塞矩阵的简并性，提供了新广义相对论主要约束的完整分类。主要发现如下：

• 部分分解：赫塞矩阵自然地分解为三个具有不同简并条件的不可约部分：

  • 张量部分：当 $c_1 = 0$ 时简并。这产生了五个主要约束，对应于空间对称无迹张量的五个独立分量。
  • 矢量部分：当 $2c_1 + c_2 + c_4 = 0$ 时简并。这产生了三个与空间矢量相关的主要约束。
  • 标量部分：由一个 $2 \times 2$ 矩阵块支配。简并条件由行列式为零给出：
    $$c_1^2 + c_1(c_2 + c_4 + 4c_3 + c_5) + 3c_3(c_2 + c_4) - \frac{3}{4}c_5^2 = 0$$
    该部分比之前理解的更为复杂。它通常产生一个标量主要约束。然而，在参数的特定子流形上（整个 $2 \times 2$ 块消失），它产生两个独立的标量主要约束。

• 模型分类：通过结合这些部分的简并性，作者识别出九种非平凡的主要约束模式（排除非简并情况）。主要约束的总数可以是 1、2、3、4、5、6、8、9 或 10。值得注意的是，七个约束的部分在代数上是不可能的；如果标量部分完全简并（2 个约束），则张量部分和矢量部分也被迫简并，从而导致具有 10 个约束的最大简并情况。

• 文献修正：作者指出了参考文献 [41] 中的错误，特别是关于赫塞行列式的计算和标量约束的分类。他们证明，参考文献 [41] 中发现的条件是他们更一般的二次方程 (54) 的特例。他们还澄清了标量部分可以支持两个约束，这是先前工作中未单独分离出的特征。

• 协变约束：在使用 $e^a_\mu$ 变量的协变表述中，作者推导出了新的主要约束（公式 131），将联络变量的共轭动量与度规动量联系起来。这些约束是度规挠率平行引力中发现的约束的协变类比。

意义
本文确立了新广义相对论哈密顿分析的基础步骤。通过严格分解赫塞矩阵并识别简并的精确条件，作者为未来工作中确定传播自由度的数量提供了必要的框架。“双标量约束”机制的发现以及七个约束情况在代数上的排除，细化了对称挠率平行引力的理论图景。作者指出，虽然这项工作尚未确定传播自由度的最终数量（这需要包含次级约束的完整狄拉克 - 伯格曼算法），但它解决了主要约束结构并修正了文献中先前的不一致性，为分析可行新广义相对论模型的适定性和稳定性提供了先决条件。