Color-gradient lattice Boltzmann modeling of wetting boundary condition on curved solid boundaries

本文通过在虚节点上更新序参数，为颜色梯度格子玻尔兹曼法中的弯曲固体表面引入了一种润湿边界条件，该方案已在 GPU 硬件上得到验证，能够有效处理巨大的密度和粘度差异，同时最大限度地减少伪电流，并准确重现静态和动态接触线行为。

要点

想象一下，你正试图模拟一滴水撞击弯曲表面时的行为，比如雨滴落在叶子上，或者气泡从弯曲的玻璃上滑落。为了在计算机上实现这一点，科学家们使用了一种被称为**格子玻尔兹曼方法（Lattice Boltzmann Method）**的方法。你可以把它想象成覆盖在计算机屏幕上的由无数微小瓷砖组成的巨大、隐形的网格。每个瓷砖都保存着一点点“流体”信息，计算机通过逐步更新这些瓷砖来观察流体的运动。

最棘手的部分是边界条件——具体来说，就是流体在接触固体壁面时如何表现。在现实世界中，水并不会在墙面前戛然而止；它会根据表面是湿润（如洁净的玻璃）还是干燥（如打过蜡的汽车）而形成特定的角度（称为接触角）。

问题所在：“机器中的幽灵”

在计算机模拟中，固体壁面并不是一条平滑的线，因为它是由正方形网格瓷砖构成的，所以显得凹凸不平。为了让数学计算成立，计算机需要知道流体在固体壁面内部的行为，尽管那里并没有流体。这些位于固体内部的虚构位置被称为**“幽灵节点”（ghost nodes）**。

以往处理这些幽灵节点的方法存在一些缺陷：

• 它们有时会产生虚假的“幽灵电流”（spurious velocities），即流体在没有任何外力的情况下似乎在自行移动。
• 它们在处理弯曲表面时表现不佳，通常看起来像是仅为平面墙设计的。
• 当处于中性角度（即水既不扩散也不缩成团）时，它们有时需要专门且复杂的数学计算。

解决方案：一条新的“幽灵规则”

作者为这些幽灵节点引入了一种更简单的新规则。

类比： 想象流体有一种“情绪”（由颜色表示，从 0 代表气体到 1 代表液体）。在现实世界中，这种情绪在跨越表面时会从气体到液体平滑地变化。

• 旧方法： 就像是在试图通过对着墙后的人大喊一声来猜测对方的情绪。
• 新方法： 作者意识到，如果你知道墙外（即流体中）的人的情绪，你就可以通过数学手段将这种平滑的情绪曲线延伸穿过墙壁，到达幽灵节点。他们只是在问：“如果流体想要在这里形成一个 45 度的角度，那么幽灵节点的情绪应该是多少才能实现这一点？”

这个新规则就像是一座无缝的桥梁。它将液滴的自然形状一直延伸到固体壁面的边缘，甚至稍微深入到壁面内部，确保液滴与壁面形成的夹角完全符合科学家的要求。

他们测试了什么

为了证明这个新规则有效，他们在一部非常强大的计算机芯片（NVIDIA A100 GPU）上运行了多次模拟：

1. 静态液滴： 他们将一滴水放在平板和圆柱体上。他们检查了液滴是否停留在要求的精确角度。
   • 结果： 他们的规则比之前的最佳方法更准确，尤其是在角度非常尖锐（如缩成团的液滴）或非常平坦（如铺展开的液滴）时。
2. 漂浮颗粒： 他们模拟了一个在油水界面处漂浮的圆柱体。
   • 结果： 相比以前，他们的方法能更准确地计算出水线的平衡位置。
3. 下落的液滴： 他们模拟了一滴掉落并撞击圆柱体的液滴，观察其溅射和铺开的过程。
   • 结果： 液滴的表现非常真实，且新规则没有导致流体中出现任何奇怪的、虚假的运动。

核心要点

• 准确性： 新方法能更好地处理弯曲表面，无论墙面是平的还是圆的，都能保持流体的角度正确。
• 稳定性： 它产生的“虚假噪声”（幽尸电流）极少，这意味着流体看起来更加自然。
• 简洁性： 它避免了在接触角恰好为 90 度（中性）时需要特殊且复杂数学计算的问题，而这曾是以往方法的痛点。
• 速度： 通过使用现代计算机芯片（GPU）和特定的编程风格，他们使模拟运行得非常快。他们发现，使用精度稍低的数值格式（单精度）可以使计算机运行速度提高两倍，且在大多数测试中不会破坏结果。

简而言之，作者构建了一个更好的“规则手册”，用于指导计算机模拟如何处理液体与固体壁面接触的边缘，使得数字化的液滴在弯曲表面上的表现和行为更接近真实的液滴。

技术摘要

技术摘要：用于弯曲固体边界润湿边界条件的颜色梯度格子玻尔兹曼建模

问题陈述
准确模拟润湿现象对于模拟具有技术相关性的过程（如多孔介质流、微流控和胶体薄膜干燥）至关重要。在利用弥散界面（diffuse interfaces）的格子玻尔兹曼方法（LBM）框架中，在弯曲固体边界上实现润湿边界条件面临着显著挑战。现有方法通常存在诸多局限性，包括引入人为质量源或汇、在界面附近产生伪（寄生）速度、受限于平面几何形状，以及无法同时一致地强制执行无滑移（no-slip）和润湿条件。此外，许多方法需要对中性接触角（$\theta = 90^\circ$）进行特殊处理，或者依赖于会引入边界附近误差的线性外推法。

方法论
作者引入了一种专门为二维颜色梯度 LBM 框架中的弯曲固体边界设计的润湿边界条件。该方法的核心在于更新位于固体相内部的“幽灵节点”（ghost nodes）上的序参数（颜色场，$\phi$）。

• 幽灵节点更新规则： 该方案并非采用设定常数或线性外推，而是将平衡颜色分布向固体相延伸。幽灵节点处的颜色场值（$\phi_G$）是基于沿固体法线方向距离 $\Delta x$ 处的对应流体域点（$x_F$）处的颜色场计算得出的。
• 数学公式： 假设颜色分布接近平衡态，序参数在固体法线方向上的导数由平衡剖面和给定的接触角 $\theta$ 推导得出。通过积分这一关系，得到一个非线性更新规则：
  $$\phi_G = \frac{\phi_F}{\phi_F + (1 - \phi_F) \exp(\varepsilon)}$$
  其中 $\varepsilon = -4\Delta x \cos \theta / W$，而 $W$ 是界面宽度。
• 关键特性： 该公式确保了幽灵节点的颜色场保持在 0 到 1 之间，从而防止了人为的质量转移。至关重要的是，与之前的方案不同，该规则在 $\theta = 90^\circ$（即 $\varepsilon = 0$）时不需要特殊处理。该方法通过基于 JAX 的框架实现，运行在 NVIDIA A100 GPU 上，利用算子融合（kernel fusion）和自动微分技术来实现高性能。

主要贡献与结果
所提出的方案通过在多个测试用例中针对解析解和 Fakhari 等人 [20] 的基准方案进行了验证：

1. 平板上的静态液滴： 在 $30^\circ$ 至 $150^\circ$ 的范围内，该方案测得的接触角误差始终低于 Fakhari 等人的方案。此外，它产生的伪电流（$5.74 \times 10^{-7}$ 至 $7 \times 10^{-7}$ 格点单位）也比基准方案更小。
2. 圆柱体上的液滴： 对于位于弯曲圆柱体上的液滴，该方法在预测液滴顶点高度（$h_{max}$）方面表现出更高的准确度，特别是在极端接触角（$30^\circ$ 和 $150^\circ$）下，其误差较基准方案从 $\sim 0.76\%$ 降低到了 $\sim 0.35\%$。
3. 液气界面处的固定颗粒： 在模拟被困在界面处的周期性圆柱阵列时，该方案将极端角度下的垂直界面位移误差从基准方案的 $\sim 14\%$ 降低到了 $\sim 9\%$。
4. 液滴撞击动态过程： 该方案成功模拟了高雷诺数和高波恩数（Bond number）下的液滴撞击圆柱体过程，捕捉了复杂的动态行为，例如液滴在亲水表面上的铺展以及在疏水表面上的分裂。结果与薄膜厚度的解析标度律高度吻合。
5. 计算性能： GPU 实现表明，单精度（FP32）计算速度至少是双精度（FP64）的两倍，同时在静态和中等动态情况下保持了精度。然而，在处理高雷诺数/韦伯数（Weber number）的液滴撞击测试时，FP32 会变得不稳定，因此在这些高能量场景中必须使用 FP64。

意义与主张
论文声称，所提出的润湿边界条件为模拟弯曲固体边界上的不互溶两相流提供了一种鲁棒且准确的替代方案。通过利用特定的幽失节点更新规则将平衡剖面扩展到固体相内，该方法：

• 保持了模型处理大密度比和粘度比的能力。
• 产生了相对较小的伪电流（比流行的伪势模型低几个数量级）。
• 避免了其他方法中存在的与中性接触角相关的数值奇异性。
• 在处理弯曲几何结构中的静态和动态接触线时，展现出优于现有方案（特别是 Fakhari 等人）的准确性。

作者指出，虽然目前的实现受限于单 GPU 执行和二维空间，但其底层物理机制直接适用于相场（phase-field）和自由能模型，并可扩展至三维。这项工作为涉及液体-气体界面处固体颗粒的未来模拟奠定了基础，特别是当这些模拟与接触线毛细力计算和滞后（hysteresis）方案相结合时。