Emergence of spin entanglement with the pseudogap onset in the Fermi-Hubbard model

通过将超冷原子量子模拟与动力学顶点近似计算相结合，本研究揭示了在二维费米-哈伯德模型中，自旋单态纠缠特异性地出现于伪能隙机制的起始阶段，从而挑战了纯经典理论，并将微观模型限制在必须包含最近邻量子相关性的范畴内。

要点

想象一个拥挤的舞池，成千上万的舞者（电子）正试图在不互相碰撞的情况下四处移动。在一个普通的舞池中，人们只是推搡和挤撞；他们的动作是混乱但独立的。这就像一种标准的金属。但在某些材料中，比如科学家们试图理解的高温超导体，舞者们的行为开始变得奇怪。他们形成了一个“伪能隙”（pseudogap）相——这是一个神秘的状态，在这个状态下，舞池似乎冻结了，舞者们甚至在开始完美同步起舞（超导性）之前，就开始秘密地两两配对。

几十年来，物理学家一直在试图弄清楚为什么会发生这种情况。核心问题在于：这些舞者是在像人群中的人一样相互反应（经典相关性），还是在共享一种秘密的、量子层面的“心灵感应”（纠缠）来连接彼此的思想？

这项由实验学家和理论家组成的团队完成的研究，利用一种由超冷原子制成的特殊“量子模拟器”最终回答了这个问题。以下是他们的发现，通过简单的解释呈现如下：

1. “幽灵配对”之谜

将纠缠想象成两个舞者之间的一种神奇纽带。如果你改变其中一个，无论距离多远，另一个都会立即做出反应。然而，在现实世界中，你不能仅仅通过观察舞者来看到这种纽带，因为存在“游戏规则”（称为超选择定则）。只有当舞者处于特定的、被允许的状态时，你才能看到这种纽带。

研究人员寻找这种在舞池邻居之间存在的“被允许的”纠缠。

2. 重大发现：纠缠仅出现在“伪能隙”中

他们绘制了不同温度和人群密度下的舞池图谱。

• 伪能隙之外： 当温度过高或人群过于稀疏时，舞者们只是在随机移动。他们之间没有神奇的纽带。他们只是经典的邻居。
• 伪能隙之内： 随着温度下降和人群达到特定密度，一个“伪能隙”形成了。突然间，研究人员检测到了在紧邻的邻居之间存在着强大的神奇纽带（纠缠）。

类比： 想象一个充满人的房间。起初，每个人都只是在和附近的任何人闲聊（经典噪声）。但随后，灯光暗了下来（伪能隙开始），突然间，每个人都只和站在自己身旁的那个人握住了手，形成了一条隐形的、秘密的链条。如果你看向隔开两个位置的人，你会发现并没有人在握手。

3. “握手”是严格局部的

关于这种纽带有多“近”，其中一个最令人惊讶的发现是：

• 最近邻： “握手”（纠缠）只发生在紧挨着的人之间。
• 隔壁邻居： 如果你观察相隔两个位置的人，这种纽带会完全消失。他们又变回了普通的邻居。

这就像是一条规则：你只能握住那个触碰到你手肘的人的手，而不能握住那个触碰到对方手肘的人的手。论文表明，这种“量子握手”严格限制在第一步之内。

4. 为什么这对“伪能隙”至关重要

多年来，一些科学家认为伪能隙是由人群推搡和拉扯的经典波（经典涨落）引起的。

• 论文的结论： 这种理论是错误的。你无法仅通过人们互相推搡来创造这种特定的“量子握手”。你需要真正的量子魔法（叠加态）才能创造它。
• 结论： 伪能隙不仅仅是一个混乱的人群；它是一个电子与其直接邻居形成微小的量子“单态”对（就像一对舞伴）的状态。这是科学家第一次测量并证实这种特定的量子纽带恰好在伪能隙开始时出现。

总结

该论文使用量子模拟器证明，在某些材料神秘的“伪能隙”相中，电子不再表现得像混乱的人群，而是开始与他们的直接邻居形成量子配对。这证明了伪能隙是由真正的量子纠缠驱动的，而非仅仅是经典混沌，并且这种纠缠是极其局部的——它不会延伸到紧随其后的下一个人。

这一发现有助于排除那些仅依赖经典物理学的理论，并迫使科学家们专注于包含这些特定短程量子连接的模型，以理解这些材料的工作原理。

技术摘要

技术摘要：费米-哈伯德模型中伪能隙开启时的自旋纠缠涌现

问题陈述
二维费米-哈伯德模型（Fermi-Hubbard model）仍然是理解强关联电子系统（特别是高温超导和神秘的伪能隙相）的核心范式。尽管经过数十年的研究，人们对伪能隙机制仍缺乏完整的微观理解。传统方法通常依赖于全局可观测量和局部解析相关函数，但这些方法往往无法区分经典相关与量子相关。虽然静态磁化率可以识别磁有序，但它无法区分经典磁相关（例如类伊辛型）与量子自旋单态相关。作者认为，纠缠提供了一个互补的微观视角，因为它仅捕捉量子相关。然而，在有限温度下，表征关联费米系统的纠缠在理论和实验上都具有挑战性，特别是在其空间结构和操作可及性方面。

研究方法
本研究采用结合实验量子模拟与先进理论计算的双重方法：

1. 实验量子模拟： 作者利用基于 $^6$Li 原子的二维超冷原子量子模拟器，在光学晶格中实现费米-哈伯德模型。他们利用自旋分辨量子气体显微镜来测量位点分辨的数量和自旋相关性。至关重要的是，他们重建了最近邻（NN）和次近邻（NNN）位点的两点约化密度矩阵 ($\rho_{ij}$)。
2. 超选择定则（SSR）与纠缠度量： 为了解决局部测量（无法改变局部电荷或费米子宇称）的操作约束，作者对密度矩阵应用了超选择定则（SSR）。这投影出了连接不同局部超选择扇区的矩阵元，从而分离出“操作可及的”纠缠。他们计算了 SSR 对数负纠缠度 ($N$)，这是一种在这些约束下检测非可分性的纠缠度量。他们还计算了 SSR 互信息 ($I$)，以量化总相关性（包括经典和量子相关）。
3. 理论框架： 理论结果通过 动力学顶点近似（D$\Gamma$A） 生成，这是一种通过包含非局部自旋和电荷涨落的梯级图（ladder diagrams）对动力学平均场理论（DMFT）进行的图论扩展。两点约化密度矩阵是通过 D$\Gamma$A 获得的二点和四点格林函数计算得出的。

核心贡献与结果

• 纠缠开启与伪能隙重合： 主要发现是，操作可及的自旋单态纠缠精确地出现在伪能隙机制的开启阶段。在温度 ($T$) 对掺杂率 ($\delta$) 的相图中，当系统处于金属态时，SSR 负纠缠度微乎其微（表明不存在纠缠）；只有当系统进入伪能隙相（由反节点谱权重受抑来识别）时，该值才变为有限值。
• 空间局限于最近邻： 纠缠严格局限于最近邻位点。
  • 对于最近邻，自旋单态概率与自旋三态概率的比值 ($p_{\text{singlet}}/p_{\text{triplet}}$) 在伪能隙内超过 1，满足 SSR 纠缠条件。
  • 对于次近邻，即使在伪能隙深处，该比值也始终低于纠缠阈值 ($<1$)。因此，在最近邻之外未检测到 SSR 纠缠。
• 与经典相关的区别： 虽然 SSR 纠缠是短程的（仅限最近邻），但 SSR 互信息（总相关性）可以延伸到最近邻之外，其相关长度约为 2.5 个晶格位点。这表明，虽然长程经典相关性持续存在，但量子纠缠是一种短程的、最近邻的现象。
• 实验与理论的一致性： 超冷原子实验数据与 D$\Gamma$A 计算在所采样的温度和掺杂范围内表现出极佳的定量一致性。

意义与主张
本文声称这些结果为微观理论提供了尖锐且可证伪的约束：

1. 排除纯经典理论： 观测到有限的 SSR 负纠缠度（要求非零的非对角相干性 $\rho_{8,9}$ 以及单态/三态比值 $>1$）削弱了基于纯经典自旋涨落的伪能隙理论。纯经典的单态与三态热混合状态无法超过纠缠阈值。
2. 要求量子单态结构： 任何有效的伪能隙微观模型必须在进入该机制时产生最近邻自旋单态纠缠。这支持了涉及量子叠加态的理论，如安德森的共振价键（RVB）态，尽管使用测得的静态密度矩阵无法区分其具体的“共振”特性与静态单态结构。
3. 对量子费舍尔信息的微观解释： 研究结果为此前观察到的铜氧化物伪能隙区量子费舍尔信息（Quantum Fisher Information）的增加提供了微观解释，将其直接与最近邻自旋单态纠缠的出现联系起来。
4. 操作可及性： 该工作证明了受 SSR 约束的纠缠是量子模拟器中一种稳健且可测量的物理量，能够区分有限温度费米系统中的量子与经典相关，为测试高温超导候选模型提供了新工具。

作者谦虚地指出，虽然其结果排除了纯经典涨落理论，但并未排除其他可能在更低温度或更长程下出现的额外纠缠机制（例如来自量子临界性或超导涨落的纠缠），这些仍是未来研究的主题。