Cohomology of Finite Element Stokes Complexes on Alfeld Splits

技术摘要：Alfeld 分裂下有限元 Stokes 复形的上同调

问题陈述
本文研究了在 $\mathbb{R}^3$ 中多面体区域上，具有混合边界条件的 Stokes 复形的保形有限元离散化构造与分析。Stokes 复形是一个由函数空间和微分算子组成的序列：
$$0 \to H^2_{\Gamma_0}(\Omega) \xrightarrow{\text{grad}} H^1_{\Gamma_0}(\Omega; \text{curl}) \xrightarrow{\text{curl}} H^1_{\Gamma_0}(\Omega)^3 \xrightarrow{\text{div}} L^2(\Omega) \to 0$$
其中 $\Gamma_0$ 和 $\Gamma_1$ 划分了边界 $\partial\Omega$。作者重点研究了在 Alfeld 分裂网格（通过将顶点连接到四面体重心进行细分的四面体网格）上使用分片多项式空间对该复形的离散化。

有限单纯复形理论（FEEC）中的一个关键挑战是确保离散复形能够保持连续复形的拓扑性质，即其上同调（cohomology）。上同调群刻画了算子模去前序算子值域后的核。虽然对于标准的 de Rham 复形以及特定平凡定义域上的特定 Stokes 复形，已有关于上同调的研究结果，但在处理具有混合边界条件的非平凡定义域上的保形 Stokes 子复形的上同调问题时，此前文献尚未对其进行充分讨论。

方法论
作者采用了一种基于迹结构（trace structures）、泡泡空间（bubble spaces）和骨架复形（skeletal complexes）的框架，扩展了 [26] 中的方法论，以处理混合边界条件以及 Stokes 复形的特定正则性要求。

1. 全多项式空间： 作者首先分析了定义在 Alfeld 分裂上的“全”有限元 Stokes 复形，其中空间由高阶多项式（$p \ge 3$）组成，并具有特定的连续性要求（标量空间为 $C^2$ 于顶点，向量空间为 $C^1$）。他们定义了在子单纯形（顶点、边、面）上的迹算子，并构造了泡泡空间来分解全局有限元空间。
2. 处理边界条件： 作者的一个重要方法论贡献是修改了迹结构，以适应混合边界条件。作者指出，标准的迹条件并不能自动强制要求在边界 $\Gamma_0$ 的“平坦”部分满足必要的导数消失条件。他们引入了修正的顶点泡泡空间（$B_{0,nn}$ 和 $B_{1,nn}$），这些空间在平坦边界面上强制执行特定的法向导数约束，从而确保离散空间满足所需的边界条件（$H^k_{\Gamma_0}$）。
3. 极小复形： 作者寻求“极小”子复形，在尽可能降低多项式阶数的同时，仍能保持局部复形的精确性以及全局上同调的同构性。他们利用了 Guzmán-Neilan 元（最低阶 $H^1$ 保形速度空间）和分片常数空间作为压力空间。他们构造了新型的、低维的 $H^2$ 保形和 $H^1(\text{curl})$ 保形空间，这些空间包含了最低阶完全多项式，并满足必要的约束以构成一个精确序列。
4. 上同调分析： 通过建立将离散空间分解为骨架（基于顶点）和泡泡组件的直接和分解，作者证明了离散复形的上同调与相对单纯链复形的上同调是同构的。这使得他们能够利用已知的关于单纯上同调与定义域相对 Betti 数的关系。
5. 投影： 作者为极小复形构造了 Scott-Zhang 型的有界交换共链投影，确保了稳定性以及与微分算子的交换性。

主要贡献与结果

1. 上同调同构（全复形）： 作者证明了定义在 Alfeld 分裂上的全多项式空间（如 [19] 中所述）所形成的离散 Stokes 复形，对于任何有界的强 Lipschitz 区域及混合边界条件，其上同调与连续 Stokes 复形同构。具体而言，$\dim H^{k,h}_{\Gamma_0} = \dim H^k_{\Gamma_0} = b_k(\Omega, \Gamma_0)$，其中 $b_k$ 是相对 Betti 数。这将其结果从 [19] 扩展到了非平凡定义域和混合边界条件。

2. 极小复形的构造： 本文构造了新型的“极小”保形有限元复形。

   • $L^2$ 保形空间是分片常数（$DG_0$）。
   • $H^1$ 保形空间是 Guzmán-Neilan 元。
   • 构造了新的、低维的 $H^2$ 保形和 $H^1(\text{curl})$ 保形空间以完成该复形。
   • 这些极小空间被证明形成了精确的局部复形，并拥有与连续复形同构的全局上同调。

3. 有界交换投影： 作者为这些极小复形构造了局部、有界的交换共链投影。这些投影保留了边界条件，并与梯度、旋度和散度算子交换，这是数值方案稳定性和预条件技术的关键属性。

4. 自由度： 本文明确表征了新极小空间的唯一确定自由度集，这些自由度包括顶点值、一定阶数的导数以及边/面积分，类似于 Whitney 形式，但针对 Stokes 复形的高正则性进行了调整。

意义
该论文声称在以下领域具有重要意义：

• 理论完整性： 它填补了文献中的空白，通过严格建立非平凡定义域及混合边界条件下保形有限元 Stokes 复形的上同调。
• 鲁棒性： 通过证明上同调的同构性，其结果保证了基于这些复形的数值方案（例如用于不可压缩 Navier-Stokes 或耦合应力理论的方案）将继承连续问题的拓扑性质，从而实现质量守恒、压力鲁棒性和一致稳定性。
• 效率： “极小”复形的构造提供了一条实现低阶、计算成本更低的有限元方法的途径，且不会牺牲实现鲁棒性所需的结构完整性（上同调）。
• 预条件： 对上同调的表征以及有界交换投影的存在，对于为源自 Stokes 复形的参数依赖问题构建鲁棒的预条件器至关重要。

这项工作依赖于 [26] 的框架，并将其扩展到 Stokes 复形和 Alfeld 分裂的具体语境中，为未来在流体力学和弹性力学中应用这些特定的拓扑约束奠定了基础。