A Liouville theorem for some asymptotically conical Calabi-Yau manifolds

技术摘要：关于某些渐近锥形 Calabi-Yau 流形的 Liouville 定理

问题陈述
本文研究了在渐近锥形（asymptotically conical, AC）开流形上 Ricci 平坦 Kähler 度量的刚性问题。具体而言，本文探讨了：一个完全的 Ricci 平向 Kähler 流形 $(M, g)$，若其在无穷远处与给定的 Calabi-Yau 锥度量 $(C, g_C)$ 拟等距（quasi-isometric），是否必然是该锥度量在缩放和微分同胚意义下的拉回。虽然 Liouville 型定理在 $\mathbb{C}^n$ 和某些乘积流形上已得到成熟的建立，但将此类刚性结果扩展到一般的 AC Calabi-Yau 流形，需要证明其渐近几何能够唯一确定全局度量结构。

方法论
作者采用了结合复 Monge-Ampère 方程正则性理论的收缩分析（blow-down analysis）。证明策略主要分为两个阶段：

1. 收缩与子序列提取：
   作者考虑了一系列缩放度量 $g_i = \epsilon_i^2 g$，其中 $\epsilon_i \to 0$。通过利用拟等距条件 $C^{-1}\omega_C \leq \Phi^*\omega \leq C\omega_C$，作者确立了这些缩放后的度量相对于锥度量是一致有界的。

   • 复结构收敛性： 利用复结构衰减假设（$\Phi^*J - J_C = O(r^{-\lambda})$），作者证明了缩放后的复结构在 $C^\infty_{loc}$ 意义下收敛至锥复结构 $J_C$。
   • 度量收敛性： 利用 Evans-Krylov 估计、Schauder 估计以及应用于复 Monge-Ampère 方程的引导论证（bootstrapping argument），作者提取了一个缩放后的 Kähler 形式的子序列，使其在 $C^{k,\beta}_{loc}$ 意义下收敛至极限形式 $\tilde{\omega}_\infty$。

2. 应用 Klemmensen 的 Liouville 定理：
   极限形式 $\tilde{\omega}_\infty$ 被证明是锥 $C \setminus \{o\}$ 上一个光滑、Ricci 平向且关于 $J_C$ 为 Kähler 的形式，且保持与 $\omega_C$ 拟等距。作者引用了 Klemmensen [Kle25] 最近的一个 Liouville 定理，该定理指出，任何此类锥上的度量必须是由一个与缩放交换的自同构 $\Psi \in \text{Aut}_{Scl}(C)$ 对锥度量的拉回。这确立了无穷远处的切锥是唯一的，且与 $(C, g_C)$ 等距。

3. 曲率衰减与分类：
   为了得出结论，即原始度量 $g$ 是渐近锥形的（而不仅仅是具有唯一的切锥），作者证明了 $g$ 具有二次曲率衰减（$|Rm_g| \leq C r^{-2}$）。这是通过矛盾法实现的：假设衰减失效，则可以通过缩放得到一个在锥上非零的曲率极限，这与锥度量的平坦性相矛盾。最后，作者应用了 Conlon-Hein [CH24b] 的分类结果，该结果指出，具有二次曲率衰减的 AC Calabi-Yau 流形由其切锥和上同调类进行分类。

主要结果

• 定理 3.1（主定理）： 令 $(M, J, \omega, g)$ 为一个模型为 Calabi-Yau 锥 $(C, J_C, \omega_C, g_C)$ 的完全 Ricci 平向 Kähler 流形，满足其复结构渐近于 $J_C$ 且度量与 $g_C$ 拟等距。则 $(M, g)$ 是渐近锥形的，其在无穷远处的唯一切锥为 $(C, g_C)$。
• 推论 3.3（特定流形的刚性）：
  • 球面切丛 ($T^*S^n$)： 任何在 $T^*S^n$ 上与 Stenzel 度量 [Ste93] 拟等距的 Ricci 平向 Kähler 度量，在缩放和微分同胚意义下都等于该 Stenzel 度量。
  • 节点锥的小解（对于 $n=3$，为 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1)^{\oplus 2}$）： 任何在该流形上与 Candelas-De la Ossa 度量 [CdlO90] 拟等距的 Ricci 平向 Kähler 度量，在缩放和微分同胚意义下都等于该度量。

意义与主张
本文声称为满足 Liouville 型定理的完全 Calabi-Yau 流形提供了新的例子。通过将复 Monge-Ampère 方程的正则性与 Klemmensen 最近关于锥的工作相结合，作者架起了局部渐近行为与全局刚性之间的桥梁。研究结果表明，对于特定的拓扑类型（节点锥的平滑及其小解），参考度量的拟等距类在模去空间的自然对称性后，唯一确定了度量本身。这使得 Liouville 定理的应用范围从 $\mathbb{C}^n$ 和乘积流形扩展到了非平凡的 AC 几何。