The Tricomi equation in the hyperbolic half plane under additive space-time Gaussian White Noise perturbation

技术摘要：“加性时空高斯白噪声扰动下双曲半平面内的 Tricomi 方程”

问题陈述
本文研究了受加性时空高斯白噪声扰动的 Tricomi 方程的 Cauchy 问题。Tricomi 方程是一种混合椭圆-双曲型二阶偏微分方程，由 $\partial_{tt}u = t\partial_{xx}u$ 给出。该方程在 $t > 0$ 时为双曲型，在 $t < 0$ 时为椭圆型，并在 $t = 0$ 处退化。所讨论的具体随机问题为：
$$\begin{cases} \partial_{tt}U(t, x) = t\partial_{xx}U(t, x) + W(t, x), & t > 0, x \in \mathbb{R}; \\ U(0, x) = 0, \quad \partial_t U(0, x) = 0, & x \in \mathbb{R}, \end{cases}$$
其中 $\{W(t, x)\}$ 代表时空高斯白噪声。主要目标是建立平方可积解的存在性与唯一性，并分析其概率与解析性质，特别侧重于在双曲半平面（$t > 0$）内的行为。

方法论
作者采用了傅里埃变换方法，而非依赖于已知但复杂的 Tricomi 算子的显式基本解。该方法论如下进行：

1. 傅里埃变换： 对空间变量进行变换，将随机偏微分方程（SPDE）转化为由频率 $\xi$ 参数化的常微分方程（ODE）族。通过变量代换 $\eta = |\xi|^{2/3}t$，将齐次部分 $\partial_{tt}\hat{v} = -t\xi^2 \hat{v}$ 归约为 Airy 方程 $\partial_{\eta\eta}v = -\eta v$。
2. 通过 Airy 函数进行表示： 利用线性无关的 Airy 函数 $Ai$和$Bi$ 构建变换后 ODE 的解。作者通过这些 Airy 函数导出了一个包含核函数 $C(t, s, \rho)$ 的解的积分表示。
3. 噪声近似： 通过涉及 Laguerre 函数（在时间上）和 Hermite 函数（在空间上）以及独立标准高斯变量的级数展开，将时空白噪声近似为一个有限秩光滑过程。
4. 渐近分析： 分析的核心在于仔细研究包含 Airy 函数的积分的渐近行为，特别是对于大参数（负实轴）以及靠近零点附近的情况。这一分析对于建立级数解的收敛性和样本路径的正则性至关重要。

主要结果

• 存在性与唯一性（定理 1.1）： 本文证明了该 Cauchy 问题存在唯一的弱随机场解。该解是一个高斯随机场，表示为 $L^2(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 中以及几乎处处收敛的级数。解可以根据 Airy 函数和噪声系数显式地给出。作者确定了该解的二阶矩是有限的。
• 平稳性与相关性（推论 1.2）： 对于任何固定的时间 $t > 0$，随机过程 $x \mapsto U(t, x)$ 被证明是二阶平稳且均值为零的。其协方差函数被显式导出。至关重要的是，作者分析了对于小空间滞后 $h$，相关函数 $r_t(h)$ 的行为。他们证明了当 $|h| \to 0$ 时，$r_t(h) = 1 - \alpha_t |h| + o(|h|)$。这种在原点附近的线性行为意味着该过程允许连续修正。
• 时间正则性（推论 1.3）： 对于任何固定的空间点 $x$，过程 $t \mapsto U(t, x)$ 允许连续修正。利用解的高斯性质和 Kolmogorov 连续性定理，作者确定了其时间路径具有任何小于 $1/2$ 阶的 Hölder 正则性。

意义与主张
本文为非严格双曲算子的随机偏微分方程（SPDEs）文献做出了贡献，该领域相比标准的波动方程研究较少。

• 与波动方程的比较： 一个重要的发现是，该随机 Tricomi 方程的解（特别是存在性、唯一性和路径连续性）的性质，与为相应的随机波动算子所导出的性质是等价的。这与 [11] 中的近期发现形成对比，在 [11] 中，引入 Tricomi 型算子的低阶项导致了良定义的随机场解的丧失。
• 鲁棒性： 结果表明，只要通过傅里埃-Airy 方法进行分析，Tricomi 算子在 $t=0$ 处的退化并不会阻止在加性白噪声扰动下存在行为良好的解。
• 技术贡献： 本文提供了对解的表示形式的严谨推导，以及对涉及 Airy 函数的积分渐近行为的详细估计，这些对于证明样本路径在空间和时间上的连续性是必要的。

作者并未提出新的应用或未来的实验方向，而是严格专注于随机 Tricomi 方程的数学适定性和正则性性质。