Infinite sequences with optimal diaphony, periodic $L_2$-discrepancy, and beyond

技术摘要：具有最优对角性、周期性 $L_2$-差异及更高阶性质的无限序列

问题陈述
本文研究了在 $d$ 维单位立方体 $[0, 1)^d$ 中构建能够实现数值积分和差异度量最优收敛速率的无限序列 $S_d$ 的问题。具体而言，作者关注的是周期性 $L_2$-差异及其解析对应物——对角性（diaphony）。

一个已知的理论结果是，对于任何维度 $d$，存在无限序列的周期性 $L_2$-差异下界，其阶数为 $\Omega((\log N)^{d/2}/N)$（针对无穷多个 $N$）。虽然之前的构造通过在有限域 $\mathbb{F}_2$ 上的5 阶数字序列实现了这一最优阶，但这些构造依赖于一种“交错”（interlacing）程序，该程序会将底层生成矩阵的维度从 $d$ 增加到 $5d$。这种高维特性使得此类构造在处理高维应用时并不实用。本文研究了2 阶数字序列是否也能达到相同的渐近最优阶，从而将底层维度降低到 $2d$，并显著提高实用性。

方法论
作者采用了一个基于具有占优混合光滑性的 Besov 空间 $S^r_{p,q}B(\mathbb{T}^d)$ 的拟蒙特卡洛 (QMC) 积分框架，其中光滑度参数 $r \in (1/p, 2)$。该方法论通过以下步骤进行：

1. 函数空间特征化： 分析利用 Faber 基（分层基） 来刻画 $S^r_{p,q}B(\mathbb{T}^d)$ 中的函数。该空间中 QMC 规则的最坏情况误差由局部差异函数在这一基下的系数衰减程度来界定。
2. 与差异度的联系： 本文建立了 Besov 空间中的最坏情况误差与周期性 $L_2$-差异之间的联系。具体而言，对于 $p=q=2$ 且 $r=1$ 的情况，最坏情况误差等价于周期性 $L_2$-差异。
3. 数字序列构造： 研究重点是 $\mathbb{F}_2$ 上的2 阶数字序列。这些序列是通过对两个 1 阶数字序列进行交错程序构造而成的（即通过 $C_1, \dots, C_{2d}$ 的交错形成 $E_1, \dots, E_d$ 的生成矩阵）。这使得所需的底层生成矩阵维度从 5 阶序列要求的 $5d$ 降低到了 $2d$。
4. Haar 系数分析： 核心技术工作涉及界定 2 阶数字序列的局部差异函数的 Haar 系数。作者利用经过数字平移的 2 阶数字网（digital nets）和序列的性质来推导这些系数的具体界限，并区分了二进盒（dyadic box）尺寸相对于点数 $N$ 较大或较小的两种情形。
5. 求和与聚合： 利用推导出的 Haar 系数界限，通过对二进分解进行求和来估计 Besov 空间中的总最坏情况误差。这涉及对对数因子以及光滑度参数 $r$、积分参数 $p, q$ 与维度 $d$ 之间相互作用的仔细处理。

主要贡献与结果

1. 2 阶序列的最优性： 主要结果（定理 12）证明了无限 2 阶数字序列在 $S^r_{p,q}B(\mathbb{T}^d)$ 中的最坏情况误差达到了最优收敛阶。

   • 对于 $r \neq 1$，误差阶为 $N^{-\min(r,1)} (\log N)^{(d-1)(1-1/q)}$。
   • 对于 $r = 1$，误差阶为 $N^{-1} (\log N)^{d(1-1/q)}$。
   • 这些界限对所有 $N \in \mathbb{N} \setminus \{1\}$ 均成立，而非仅针对无穷多个 $N$。

2. 证实猜想： 通过建立 2 阶序列的界限 $L_{2,N}^{\text{per}}(S_d) \lesssim_d (\log N)^{d/2}/N$（推论 14），本文证实了关于 2 阶构造足以实现最优周期性 $L_2$-差异/对角性的猜想。这与已知的无限序列下界相吻合。

3. 降维： 本文证明了交错构造的底层维度可以从 5 阶序列要求的 $5d$ 降低到 $2d$。这种维度的降低被视为在高维积分应用中实现可行性的显著改进。

4. 可扩展性： 结果适用于无限序列，确保了 QMC 规则具有可扩展性。这意味着增加积分节点数 $N$ 时，不需要丢弃之前已有的函数评估值，这是“开放型”规则的特征。

意义与主张
本文声称其结果证实了 2 阶数字序列在周期性 $L_2$-差异和对角性方面的最优性猜想。其重要性在于：

• 理论确认： 它解决了 5 阶序列的高复杂度是否为实现最优周期性差异所必需的问题，表明 2 阶构造已足够。
• 实践改进： 通过将生成矩阵的底层维度从 $5d$ 降低到 $2d$，该构造在高维问题中的实现变得更加可行。
• 广泛适用性： 这些界限是在具有占优混合光滑性的 Besov 空间的通用框架内建立的，涵盖了广泛的函数类，其中周期性 $L_2$-差异仅是其中的一个特例（$p=q=2, r=1$）。

作者指出，这些发现与之前的研究结果一致，即 2 阶序列在各种其他差异度量（星差异、极端差异以及 Sobolev、Besov 和 Triebel-Lizorkin 空间中的范数）中均表现出最优速率，进一步证明了 Dick 的 2 阶数字序列具有“普遍优秀的分布特性”。