Waring's problem involving D.H. Lehmer numbers

技术摘要：涉及 D.H. Lehmer 数的 Waring 问题

问题陈述
本文研究了经典 Waring 问题的一个变体，具体探讨了将足够大的正整数表示为 D.H. Lehmer 数的四次方之和的问题。设 $p$ 为一个奇素数。D.H. Lehmer 数定义为满足 $1 \le a \le p$，$\gcd(a, p) = 1$，且 $a + \bar{a} \equiv 1 \pmod 2$ 的整数，其中 $\bar{a}$ 是 $a$ 模 $p$ 在范围 $[1, p]$ 内的唯一乘法逆元。这些数的集合记作 $L(p)$。

作者旨在确定需要多少个来自 $L(p)$ 的四次方幂才能表示任何足够大的整数 $N$。这建立在 H. Davenport 的经典结果之上，他确定了每个足够大的整数都是 16 个自然数的四次方之和，并且每个不属于 15 或 16 $\pmod{16}$ 的足够大的整数都是 14 个此类数的和。本文旨在将这些发现扩展到受限的 D.H. Lehmer 数集。

方法论
作者采用了 Hardy-Littlewood 圆法，这是加性数论问题中的一种标准分析技术。其核心方法包括：

1. 生成函数： 作者定义了基于集合 $L(p)$ 的指数和。具体而言，$T(\alpha) = \sum_{x \sim P, x \in L(p)} e(\alpha x^4)$，其中 $P \approx (N/100)^{1/4}$。为了处理 $N$ 作为 14 个四次方幂之和的情况，他们引入了一个辅助整数集 $\{u_1, \dots, u_U\}$，这些整数是 $L(p)$ 中四个四次方幂之和，并定义 $U(\alpha) = \sum_{h=1}^U e(\alpha u_h)$。
2. 积分表示： 表示数 $r_{14}(N)$ 被表示为一个在单位区间上的积分：$r_{14}(N) = \int_0^1 T^6(\alpha) U^2(\alpha) e(-N\alpha) d\alpha$。
3. 大弧与小弧： 积分区域被分为大弧 $\mathfrak{M}$（靠近具有小分母的有理数）和小弧 $\mathfrak{m}$。
   • 大弧上的近似： 作者利用奇异级数分量 $T^*(\alpha, a, q)$ 和误差项 $H(\alpha)$ 来近似大弧上的指数和 $T(\alpha)$。这依赖于使用特征和及 Möbius 函数的性质对 $L(p)$ 之和进行分解。
   • 小弧上的估计： 利用 Weyl 不等式和关于特征的指数和界限，作者确立了小弧的贡献相对于主项是可以忽略不计的。
4. 引理与界限： 证明依赖于一系列建立以下内容的引理：
   • 特征和（引理 1）。
   • Lehmer 数在短区间内的分布（引理 3，引理 5）。
   • 方程 $x^4 + u_h = y^4 + u_i$ 的解的数量（引理 6）。
   • 可表示为 $s$ 个 Lehmer 数的四次方幂之和的数的密度（引理 7）。
   • $T(\alpha)$ 在大弧和小弧上的界限（引理 8，引理 14）。

主要贡献与结果
本文确立了关于大整数可表示性的两个主要定理：

• 定理 1： 每个足够大的正整数 $N$，前提是 $N \not\equiv 15, 16 \pmod{16}$，可以表示为 14 个 D.H. Lehmer 数的四次方之和。
• 定理 2： 每个足够大的正整数都可以表示为 16 个 D.H. Lehmer 数的四次方之和。

定理 1 的证明涉及展示积分表示中的主项支配误差项，从而确保在指定的同余类中 $r_{14}(N) > 0$。定理 2 直接由定理 1 以及观察到 1 是一个 Lehmer 数得出；因此，模 16 同余于 15 或 16 的整数可以通过减去两个 $1^4$ 转化为形式 $N-2$（该形式属于允许的同余类）。

意义与主张
作者指出，这是第一项专门针对 D.H. Lehmer 数开展的 Waring 问题研究。这项工作的意义在于：

1. 扩展经典结果： 它成功地将用于经典 Waring 问题（特别是 $k=4$ 时）的成熟方法应用于由模算术性质定义的受限整数集。
2. 验证 $G(4)=16$： 作者指出，他们的结果——即将可表示为 16 个四次方幂的整数范围缩小到 D.H. Lehmer 数这一特定子集——为验证经典结果 $G(4)=16$ 提供了一个替代视角。
3. 开放问题： 论文最后指出，将 $N$ 分解为受限于 D.H. Lehmer 数的幂之和在 Waring 问题的其他情形下是否仍然是一个开放领域，有待未来的研究。

本研究工作得到了陕西省基础科学研究项目及陕西省自然科学基础研究项目的资助。