技术摘要：针对数据稀缺场景下算子学习的基于扰动的符合预测

1. 问题定义

本文解决了针对学习二维不可压缩纳维-斯托克斯方程（Navier–Stokes equations）的神经算子进行**不确定性量化（UQ）**的挑战。虽然神经算子（如傅里叶神经算子，FNO）为高昂代价的 PDE 求解器提供了高效的代理模型，但其点预测缺乏对时空场经过校准的不确定性估计。这在安全敏感或决策场景中至关重要，因为误差会随空间和时间的变化而变化。

具体问题被表述为学习一个解算子 $G: \mathbf{a} \to \mathbf{u}$，该算子将输入的涡量场历史 $\mathbf{a}$ 映射到未来的轨迹 $\mathbf{u}$。目标是构建一个预测集 $C(\mathbf{a})$，使其在整个时空网格上的联合覆盖（simultaneous coverage）概率至少为 $1-\alpha$：
$$P(\mathbf{u}_{new} \in C(\mathbf{a}_{new})) \geq 1 - \alpha$$
作者重点关注数据稀缺场景，即总标签预算固定。在这种设定下，需要独立不确定性网络的方法（如 UQNO）必须在预测模型和辅助不确定性模型之间划分有限的数据，这可能会降低两者的性能。

2. 方法论：基于扰动的非一致性得分

所提出的框架通过将拆分符合预测（Split Conformal Prediction, CP）封装在训练好的神经算子之上。其核心创新在于构建了一种基于扰动的非一致性得分，该得分可以在不需要单独的不确定性网络或不相交数据划分的情况下，生成自适应且空间变化的确定性尺度。

2.1 核心机制

该方法依赖于这样一个原理：学习到的算子对训练标签中微小扰动的敏感程度，与预测不确定性相关。

1. 双重训练：使用两个架构相同的神经算子在相同的正向训练集上进行训练：
   • $\hat{G}$：在原始标签 $\mathbf{u}_i$ 上训练。
   • $\hat{G}_\epsilon$：在扰动后的标签 $\tilde{\mathbf{u}}_i = \mathbf{u}_i + \boldsymbol{\epsilon}_i$ 上训练，其中 $\boldsymbol{\epsilon}_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma_\epsilon^2)$。
2. 原始差异：对于新输入 $\mathbf{a}$，坐标 $k$ 处的原始不确定性度量是逐点的绝对差值：
   $$d(\mathbf{a})_k = | \hat{G}(\mathbf{a})_k - \hat{G}_\epsilon(\mathbf{a})_k |$$
3. 稳定性处理：为了防止数值不稳定（除以接近零的值）并确保鲁棒性，原始差异经过两个步骤处理：
   • 空间平滑：使用 $K \times K$ 空间窗口（例如 $15 \times 15$）对差异图进行平滑，以平均化局部噪声。
   • 底限稳定化（Floor Stabilization）：施加一个基于数据的底限 $\tau_0$，定义为训练集上中值差异的一个比例。最终尺度为 $\sigma(\mathbf{a})_k = \max(\bar{d}(\mathbf{a})_k, \tau_0)$。
4. 非一致性得分：校准样本的符合性得分定义为所有输出坐标上的最大归一化残差：
   $$S(\mathbf{a}, \mathbf{u}) = \max_k \frac{| u_k - \hat{G}(\mathbf{a})_k |}{\sigma(\mathbf{a})_k}$$
   这种最大值类型的得分旨在实现整个网格的联合覆盖。

2.2 校准与预测

利用拆分符合预测协议，在校准集上计算得分 $S$。得分的第 $\hat{Q}_{1-\alpha}$ 分位数决定了预测带的宽度。对于新输入，坐标 $k$ 处的预测带为：
$$C(\mathbf{a})_k = \left[ \hat{G}(\mathbf{a})_k - \hat{Q}_{1-\alpha}\sigma(\mathbf{a})_k, \quad \hat{G}(\mathbf{a})_k + \hat{Q}_{1-\alpha}\sigma(\mathbf{a})_k \right]$$
理论保证确保，在可交换性条件下，整个轨迹以至少 $1-\alpha$ 的概率被同时覆盖。

3. 主要贡献

• 基于扰动的尺度：引入了一种方法，直接从基础模型与在扰动标签上训练的模型之间的差异中导出自适应不确定性尺度。这避免了对辅助不确定性网络的需求。
• 数据效率：该方法专门为数据稀缺场景设计。不同于 UQNO 等需要划分训练数据的算法，扰动法利用完整的正向训练集来训练基础模型和扰动模型，从而最大化了用于学习算子的可用信息。
• 联合覆盖：使用最大值类型的非一致性得分，确保预测带能对整个高维时空输出提供有效的联合覆盖，而非仅仅是单个点的边际覆盖。
• 稳定性技术：研究表明，引入空间平滑和底限稳定化对于提高符合预测带的效率至关重要，能够防止由于孤立的近零差异导致的预测带膨胀。

4. 实验结果

实验在 2D 纳维-斯托克斯涡量基准测试（$64 \times 64$ 网格，10 个时间步）上进行，总标签预算固定为 1200 条轨迹。所提方法与以下方法进行了对比：

• MC Dropout：使用推理时的 Dropout 进行方差估计。
• Laplace 近似：最后一层的对角近似。
• UQNO：在不相交数据子集上训练的辅助分位数网络。
• 无缩放（Unscaled）：具有恒定宽度带的基线（$\sigma \equiv 1$）。

研究结果：

• 效率：在保持目标联合覆盖的同时，基于扰动的方法产生的符合预测带显著窄于所有基线方法。
  • 在 $\alpha=0.04$ 时，扰动法实现的平均半径为 3.786，而无缩放法为 4.192，Laplace 近似为 4.403，MC Dropout 为 8.530，UQNO 为 16.784。
  • 与 UQNO 相比，改进尤为显著（半径减少了 77.4%），这归功于训练独立不确定性网络所带来的数据划分惩罚。
• 消融实验：
  • 空间平滑：对性能至关重要。移除平滑处理后，平均半径从约 3.8 增加到约 83.6。
  • 底限稳定化：虽然在效率方面不如平滑处理那样关键，但对于稳定性是必要的；仅移除它对半径的影响微乎其微。
• 敏感性：该方法对扰动噪声的大小（$c \in [0.02, 0.10]$）具有鲁棒性，在此范围内覆盖率始终接近标称目标。
• 定性分析：生成的确定性带在物理复杂区域（涡核、剪切层）会自动变宽，而在平滑的层流区域则会收缩，这与预测任务的预期难度相符。

5. 重要性与主张

本文主张，扰动敏感性可以作为一种实用且样本高效的代理，用于实现符合化神经算子的不确定性。其主要意义在于将不确定性校准与辅助建模解耦。通过利用两个在几乎相同数据上训练的模型之间的差异，该方法实现了自适应的联合覆盖，且无需牺牲训练数据给第二个网络。

作者将其定位为一种通用的机制，只要能够在一个几乎相同的数据集上训练两个模型，即可应用于回归问题之外的领域。该方法为符合化回归提供了一种数据高效的选择，特别是在数据有限且训练辅助模型的成本过高时。结果表明，在数据稀缺场景下的算子学习中，基于扰动的缩放方法在保持严格统计保证的同时，在预测带紧凑度方面优于现有的自适应方法（MC Dropout、Laplace、UQNO）。