The Dirichlet spectrum with respect to $L_1$ norm is $\left[\frac12,1\right]$

技术摘要：关于 $L^1$ 范数的狄利克雷谱

问题陈述
本文研究了与 $\mathbb{R}^2$ 上范数 $F$ 相关联的狄利克雷谱 $D[F]$。对于无理数 $\alpha$，狄利克雷常数 $d_F(\alpha)$ 是通过格 $\Lambda_\alpha(t) = \text{diag}(t^{-1}, t) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\alpha & 1 \end{pmatrix} \mathbb{Z}^2$ 关于 $F$ 单位球的第一个连续极小值来定义的。归一化狄利克雷常数由 $\delta_F(\alpha) = \Delta_F \cdot (d_F(\alpha))^2$ 给出，其中 $\Delta_F$ 是单位球的临界行列式。狄利克雷谱 $D[F]$ 是所有此类值 $\delta_F(\alpha)$（其中 $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$）构成的集合。

虽然经典的狄利克雷谱（与上确界范数 $L^\infty$ 相关）的结构已知是复杂的，既包含离散点也包含连续的“霍尔射线”（Hall's ray），但对于其他范数的结构仍不为人知。本文专门针对 $L^1$ 范数进行研究，该范数定义为 $F^{[1]}(x, y) = |x| + |y|$。核心问题是确定精确的集合 $D[1] = \{ \delta_{F^{[1]}}(\alpha) : \alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \}$。

方法论
作者采用了一种连接丢番图逼近、连分数和分形几何的多步策略：

1. 与闵可夫斯基谱的联系： 本文建立了 $L^1$ 狄利克雷谱与与闵可夫斯基对角连分数（DCF）相关的闵可夫斯基谱 $M$ 之间的直接联系。研究表明，$\delta_{F^{[1]}}(\alpha) = 2m(\alpha)$，其中 $m(\alpha)$ 是通过集合 $\{(q, \|q\alpha\|)\}$ 的下凸包的线性插值 $\mu_\alpha(t)$ 的 $\limsup$ 定义的闵可夫斯基常数。因此，$D[1] = 2M$。问题由此简化为对闵可夫斯基谱 $M$ 进行刻画。

2. 函数表示： 利用 Moshchevitin 的结果，将闵可夫斯基常数 $m(\alpha)$ 表示为两个函数 $G(x,y)$ 和 $F(x,y)$ 的 $\limsup$ 值，这两个函数取决于 $\alpha$ 的正则连分数展开的尾部。函数 $F$ 对应于满足勒让德不等式的连续收敛子，而 $G$ 则对应于“跳过”的收敛子。为了便于分析，作者引入了一个变量变换，将 $F$ 转化为一个定义在正实数上的函数 $K(u,v)$，从而简化了估计界限的过程。

3. 和分解算法： 一个关键工具是最近发现的算法（来自 [27] 和 [4]），该算法可以将任何无理数 $s \in (0,1)$ 分解为两个连分数之和，即 $s = \beta + \gamma$，其中 $\beta$ 和 $\gamma$ 的部分商趋于无穷大。这种分解允许显式地构造具有特定性质的数。

4. $\alpha$ 的显式构造： 为了证明特定的值 $m \in (1/4, 1/2)$ 在谱中，作者通过拼接基于分解所得的 $\beta$ 和 $\gamma$ 的块来构造无理数 $\alpha$。该构造包括：

   • 基于 $\beta$ 和 $\gamma$ 的部分商创建块 $W_N = (b_N, \dots, b_1, 1, c_1, \dots, c_N)$。
   • 插入这些块以及大型“分隔”部分商 $d_j$，以隔离中心数字 '1' 的行为。
   • 分析生成的连分数，以证明闵可夫斯基常数的 $\limsup$ 正是由中心“跳过”项（与数字 1 相关）决定的，而所有其他切割产生的数值都严格较小。

5. 豪斯多夫维数分析： 对于水平集 $\Theta_m = \{ \alpha : m(\alpha) = m \}$，作者利用构造的块嵌入了具有受限部分商的数集。通过应用畸变论证和连分数柱（cylinders）的性质，作者估计了这些集合的豪斯多夫维数。

主要结果

• 定理 1.1（主要结果）： $L^1$ 范数的狄利克雷谱是一个闭区间：
  $$D[1] = \left[ \frac{1}{2}, 1 \right].$$
  等价地，闵可夫斯基谱为 $M = [1/4, 1/2]$。这一结果证实了对于 $L^1$ 范数，其谱占据了对称范数理论上可能的整个范围（因为通常有 $1/2 \le \delta_F(\alpha) \le 1$）。

• 定理 1.3（水平集的维数）： 对于任何 $m \in (1/4, 1/2)$，水平集 $\Theta_m$ 的豪斯多夫维数严格大于 $1/2$。具体而言，若 $s = 4m-1$ 且 $A$ 足够大，则 $\dim_H \Theta_m \ge \delta_A$，其中 $\delta_A$ 是部分商 $\ge A$ 的集合的维数。

• 定理 7.3： 对于任何 $m \in (1/4, 1/2)$，$\dim_H \Theta_m < 1$。这将其水平集与典型情况（$m=1/2$）区分开来，后者具有全勒贝格测度。

• 定理 7.6： 端点水平集的维数恰好为 $\dim_H \Theta_{1/4} = 1/2$。

• 推论 7.7： 当 $m$ 从上方趋近于 $1/4$ 时，维数的极限为 $1/2$。

意义与主张
本文声称提供了第一个被完整描述的一维丢番图谱。虽然多维狄利克雷谱最近已被证明是区间，但一维情况通常更为复杂。通过证明 $D[1]$ 是一个闭区间，这项工作解决了 $L^1$ 范数的结构问题。

此外，本文展示了对于谱的内部点，闵可夫斯基常数的水平集在分形意义上是“大”的（维数 $> 1/2$），而端点具有不同的维数属性。其方法论依赖于通过连分数拼接进行显式构造，从而架起了闵可夫斯基常数的代数性质与相关集合的几何性质之间的桥梁。

作者指出，该结果依赖于 $L^1$ 范数和闵可夫斯基对角连分数的特定性质，并不声称在没有进一步调查的情况下将其结构性结果推广到任意范数。这项工作被呈现为对 Moshchevitin 关于闵可夫斯基谱所提问题的解答。