Higher integrability for parabolic double phase equations with an improved gap bound

技术摘要：具有改进间隙界的抛物型双相方程的高阶可积性

问题陈述
本文研究了对于抛物型双相方程的 Hölder 连续弱解，其梯度在局部具有高阶可积性。该方程为：
$$\partial_t u - \text{div}\left(|Du|^{p-2}Du + a(z)|Du|^{q-2}Du\right) = 0$$
定义在时空柱体 $\Omega_T = \Omega \times (0, T]$ 中，其中 $1 < p \le q$。调节系数 $a(z)$ 是一个非负函数，它控制着从 $p$-增长（当 $a=0$ 时）到 $(p,q)$-增长的过渡。

本文解决的核心挑战在于指数间隙 $q-p$ 与系数 $a$ 的正则性之间的关系。在椭圆情形下，解的正则性已知取决于间隙是否满足与 Lavrentiev 现象相关的条件。作者旨在建立一个类似的抛物型情形下的高阶可积性结果，并对系数 $a$ 的假设进行放宽，同时提出一个改进的间隙条件。

方法论
作者采用了一种基于内在几何和反向 Hölder 不等式的框架，并将其应用于具有非标准增长条件的抛物型情形。关键的方法论组成部分包括：

1. 放宽的系数类 ($Z_\kappa$)： 作者没有假设 $a \in C^{\alpha, \alpha/2}$，而是研究了 $Z_\kappa(\Omega_T)$ 类函数。如果一个函数 $a$ 满足单侧点值界限，则属于此类：
   $$a(z_1) \le c_a \left( a(z_2) + d_p(z_1, z_2)^\kappa \right)$$
   其中 $d_p$ 是抛物型度量。该类函数可以容纳以 $\kappa$ 确定的速率消失或增长的系数，包括非 Hölder 连续函数如 $|x|^\kappa$。

2. 倾斜 Steklov 平均 (Slanted Steklov Average)： 为了处理系数 $a$ 在时间上的正则性问题（在 $\kappa > 1$ 时，$Z_\kappa$ 不保证时间上的 Hölder 连续性），作者引入了一种新的平滑技术，称为“倾斜 Steklov 平均”。其定义为：
   $$[u]_h^R(z) = \frac{1}{h} \int_t^{t+h} u(x + (s-t)\zeta, s) \, ds$$
   这种技术结合了对 $a$ 的一种轻微几乎单调性条件（无论是向前还是向后时间），使得作者能够在不依赖于标准 Lipschitz 截断法（在这种设定下会产生循环依赖）的情况下，推导出能量估计和 Caccioppoli 不等式。

3. 内在几何与停止时间： 证明过程利用了内在柱体（对于 $p$-相为 $Q_{\rho, \lambda}$，对于 $(p,q)$-相为 $G_{\rho, \lambda}$），其中缩放参数 $\lambda$ 由解的梯度决定。通过使用停止时间论证来选择合适的柱体半径，这些半径是基于被积函数 $H(z, |Du|) = |Du|^p + a(z)|Du|^q$ 的水平集选取的。

4. 反向 Hölder 不等式： 证明的核心在于为 $p$-相（其中 $a$ 较小）和 $(p,q)$-相（其中 $a$ 显著）分别建立反向 Hölder 不等式。这些不等式依赖于适配于内在缩放的抛物型 Sobolev-Poincaré 不等式和 Gagliardo-Nirenberg 估计。

主要贡献与结果

• 改进的间隙条件： 主要结果（定理 1.3）在以下间隙条件下建立了梯度的更高可积性：
  $$2 \le p \le q \le p + \frac{q\kappa}{q - 2\gamma}$$
  其中 $\gamma \in [0, 1)$ 是解 $u$ 在空间中的 Hölder 指数以及在时间中的 $\gamma/q$ 指数。

  • 作者指出，该条件是纯抛物型的。它不同于最优椭圆间隙界限 ($q-p \le \kappa/(1-\gamma)$)，并且在 $p \ge 2$ 时，其允许的间隙在意义上更为严格。
  • 该界限反映了时间的正则性；作者观察到，如果时间正则性能从 $\gamma/q$ 提高到 $\gamma/2$，则可以恢复椭圆间隙条件。

• 对 $Z_\kappa$ 系数的扩展： 本文首次将 $Z_\kappa$ 类（此前用于椭圆双相问题）应用于抛物型情形。这使得处理那些在时间上不一定具有 Hölder 连续性、但满足单侧界限和轻微单调性条件的系数成为可能。

• 新的平滑技术： 引入倾斜 Steklov 平均提供了一种机制，可以在不假设 $a$ 在时间上具有 Hölder 连续性的情况下推导能量估计，克服了当 $\kappa > 1$ 时标准时空平滑法的局限性。

• 主定理： 对于局部 $\gamma$-Hölder 连续于空间且 $\gamma/q$-Hölder 连续于时间的弱解 $u$，存在 $\epsilon_0 > 0$，使得对于任何 $\epsilon \in (0, \epsilon_0)$：
  $$\fint_{Q_r(z_0)} H(z, |Du|)^{1+\epsilon} \, dz \le c \left( \frac{2 + \|a\|_\infty}{r^{q-2\gamma}} \right)^{1 + \frac{\epsilon q}{2}}$$
  这证实了与双相泛函相关的 Orlicz-Sobolev 空间中梯度的局部高阶可积性。

意义与主张
本文声称在以下方面推进了非一致椭圆抛物型问题的正则性理论：

1. 放宽正则性假设： 超越了对系数 $a$ 的标准 $C^{\alpha, \alpha/2}$ 假设，转向更广泛的 $Z_\kappa$ 类，这能更好地模拟具有变化椭圆性的材料。
2. 精炼间隙条件： 提供了一个本质上属于抛物型性质的间隙界限，明确地将 $p$ 和 $q$ 之间的允许间隙与解的时间 Hölder 正则性联系起来。
3. 方法论创新： 证明了倾斜 Steklov 平均是处理系数正则性不足以使用标准方法的设置时，推导能量估计的一种可行的替代方案。

作者明确表示，其方法可以推广到系统情形和奇异情形 ($p < 2$)，但目前的研究仅限于标量齐次方程，因为系统情形和奇异情形的 Hölder 正则性在文献中尚未得到充分建立。他们还指出，所得出的间隙界限可能不是最优的，因为该现象完全受时间正则性支配。