技术摘要：具有 $L_2$ 有界结构的自由参数化状态空间控制器

1. 问题陈述

为非线性系统设计既能稳定控制策略，又能同时优化复杂非凸目标的策略，仍然是一个重大挑战。虽然神经网络（NN）提供了强大的表达能力，但它们往往缺乏内在的鲁棒性；输入的微小扰动可能会产生不可预测的传播，从而可能导致闭环系统失稳。

现有的确保稳定性方法通常在优化过程中对控制器参数施加显式约束。然而，通过投影或约束优化来强制执行这些约束会引入计算开销，并使训练过程变得复杂。此外，依赖于连续时间策略（例如 Port-Hamiltonian 模型或 Neural ODEs）的方法在离散化时面临困难，往往会失去 $L_2$ 增益保证，或者导致难以实现的隐式方程。本文解决的核心问题是：如何参数化离散时间控制器，使得稳定性在设计时即得到保证，从而允许对一般的非线性目标进行完全无约束的优化。

2. 方法论

本文提出了一种利用**结构化状态空间模型（SSM）**的新颖框架，具体是一种名为 **$L_2$ 循环单元（$L_2$RU）**的新型架构。该方法建立在三大支柱之上：

A. 理论基础：小增益定理

该方法利用小增益定理来保证闭环稳定性。如果一个受控对象具有已知的（或估计的）有限 $L_2$ 增益 $\hat{\gamma}$，且控制器被设计为具有 $L_2$ 增益 $\gamma$，使得 $\gamma\hat{\gamma} < 1$，则反馈互联被保证是 $L_2$ 稳定的。目标是构建一种控制器参数化方式，使得 $\gamma$ 是固定且预设的，且独立于优化变量。

B. 新型自由参数化

作者引入了一种针对具有预设 $L_2$ 增益 $\gamma$ 的线性时不变（LTI）系统的自由参数化方法。与以往需要求解复杂约束或投影的方法不同，这种参数化将一组自由参数 $\omega \in \mathbb{R}^q$ 直接映射到系统矩阵 $(A, B, C, D)$，使得生成的系统始终满足 $L_2$ 界限 $\gamma$。

该参数化方案（论文中的 Block 1）的关键特性包括：

• 复对角结构： 状态矩阵 $A$ 被参数化为一个具有复特征值 $\lambda_j = \exp(-\exp(\mu_j) + i \exp(\theta_j))$ 的对角矩阵。这一结构继承自线性循环单元（LRU）架构。
• 显式增益控制： 前馈矩阵 $D$ 以及 $B$ 和 $C$ 的缩放是通过有界实引理（Bounded Real Lemma）条件推导得出的，以严格执行 $\gamma$ 限制。
• 泛化性： 该方法推广了 Massai 和 Ferrari-Trecate (2025) 的工作，支持任意维度（$n_h, n_u, n_y$），而不局限于方阵系统。

C. $L_2$RU 架构

$L_2$RU 架构堆叠了多个状态空间层（SSL）。每一层由以下部分组成：

1. 一个由上述新自由参数化定义的 LTI 系统。
2. 一个静态的、Lipschitz 有界的非线性函数（例如有界的 MLP）。
3. 一个跳跃连接（skip connection）。

整个架构通过线性编码器和解码器进行前后处理。由于线性组件的 $L_2$ 界限在设计时是固定的，且非线性部分是 Lipschitz 有界的，因此控制器的全局 $L_2$ 增益是可以预设的。这使得控制器参数可以通过完全无约束优化（例如梯度下降）进行调整，以最小化任意代价函数，同时保证稳定性。

D. 计算效率

该提议参数化的一个关键优势是其与**并行扫描算法（parallel scan algorithms）**的兼容性。$A$ 的复对角结构允许进行高效的时间域模拟，其计算复杂度相对于序列长度呈线性关系。这与标准的 RNN 或隐式方法（如 NODEs 或 Recurrent Equilibrium Networks）形成对比，后者通常需要顺序处理或求解隐式方程，导致其在长时程任务中的可扩展性较差。

3. 核心贡献

1. 新型自由参数化： 本文提出了一种基于 SSM 的 $L_2$RU 架构的新型自由参数化方法，该方法在设计时即可强制执行预设的 $L_2$ 增益。这消除了对计算昂贵的投影、约束优化或事后验证的需求。
2. 解耦稳定性与优化： 通过固定 $L_2$ 增益以满足与受控对象的小增益条件，该方法将稳定性保证与优化过程解耦。这使得使用标准无约束优化器来处理复杂非线性目标成为可能。
3. 计算可扩展性： 所提结构通过并行扫描实现了对长输入序列的并行处理，相比于依赖顺序递归或隐式求解器的现有神经网络控制方法，提供了显著的效率提升。
4. 实验验证： 该方法在轮式机器人集群的编队控制任务上得到了验证，展示了在保持闭环稳定的同时实现碰撞规避和障碍物规避的能力。

4. 结果

作者在 $N$ 个非线性轮式机器人（从 Robotarium 平台离散化而来）的仿真研究中进行了测试。

• 设置： 一个中心化控制器被训练用于引导机器人到达目标位置，同时避免静态障碍物和相互碰撞。受控对象的 $L_2$ 增益估计为 $\hat{\gamma} \approx 18.57$。
• 控制器设计： 一个包含 3 层的 $L_2$RU 控制器被训练，其预设增益为 $\gamma = 1/(18.57 + 0.001)$，满足小增益条件。
• 性能： 训练好的控制器成功引导智能体到达目标并规避了碰撞。结果（图 2 和图 3）表明，约束控制器的 $L_2$ 界限并未导致明显的表达能力或性能损失。在整个仿真过程中，智能体之间的相对距离始终保持在安全阈值之上。

5. 重要性与声明

本文声称，该方法解决了在不牺牲计算可行性的前提下，为非线性系统设计稳定控制策略这一“艰巨挑战”。

• 设计即稳定： 其主要意义在于能够通过小增益定理实现“设计即稳定”，从而在学习阶段无需使用限制性约束。
• 实用性： 作者强调，由于 $L_2$RU 的离散时间特性和可并行性，使其比连续时间方法（如 Port-Hamiltonian 或 NODEs）更适合实际应用，因为后者在离散化时存在问题或计算成本过高。
• 范围的局限性： 本文承认了一些局限性，指出小增益保证依赖于计算或估计受控对象 $L_2$ 界限的能力，而这对于一般的非线性系统可能很难。此外，所提出的参数化被视为 $L_2$ 有界性的一个充分（而非必要）条件，这意味着它可能无法覆盖所有可能的 $L_2$ 有界系统空间，但对于实际控制设计而言是充分的。

作者总结道，该框架为将深度学习应用于稳定性作为硬约束的控制问题打开了大门，未来的工作将侧重于实际部署和与基于模型的强化学习的集成。