Embedded Trefftz DG method for steady Navier-Stokes flow. Part I: Oseen linearization

技术摘要：用于稳态 Navier–Stokes 流的嵌入式 Trefftz DG 方法（第一部分：Oseen 线性化）

问题陈述
本文研究了稳态 Oseen 问题的数值近似，该问题是围绕给定对流场 $w$ 的稳态不可压缩 Navier–Stokes 方程的线性化。控制方程寻求速度 $u$ 和压力 $p$，满足：
$$-\nu\Delta u + (w \cdot \nabla)u + \nabla p = f, \quad \text{div } u = 0$$
在有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 内，并满足齐次 Dirichlet 边界条件。本文解决的主要挑战是开发一种嵌入式 Trefftz 不连续 Galerkin (DG) 方法，该方法能在减少自由度 (DoFs) 的同时保持高近似质量，并处理由对流项 $(w \cdot \nabla)u$ 引入的变系数问题。与 Stokes 问题（其中 $w=0$）不同，Oseen 算子涉及变系数，这使得标准的常系数 Trefftz 构建不再适用。

方法论
作者提出了一种嵌入式 Trefftz-DG 方法，该方法避免了显式构造局部 Trefftz 基函数。相反，该方法从标准的多项式 DG 空间 $X$ 出发，通过投影约束来施加 PDE。

1. 局部算子与 Trefftz 空间：
   在每个单元 $T$ 上定义了一个局部算子 $K_{T,w}$，它将解空间映射到对偶测试空间 $Q(T)'$。Trefftz 空间 $T_w$ 被定义为 $X$ 的子空间，在该子空间中，局部残差在对 $Q(T)$ 的弱测试下消失。具体而言，函数属于 $T_w$ 意味着当其针对低阶多项式（速度为 $k-2$ 阶，压力为 $k-1$ 阶）进行测试时，满足 PDE。

2. 局部-全局分裂与补空间：
   一个关键的理论步骤是构造局部补空间 $L(T)$，使得 $X(T) = T_w(T) \oplus L(T)$。

   • 速度分量 ($L_u$)： 利用在子球上消失的泡函数（bubble functions）进行构造，并辅以特定的多项式项以控制面通量（facet fluxes），同时受到约束以确保在 $d$ 个面上平均通量为零。
   • 压力分量 ($L_p$)： 定义为 $k-1$ 阶的零均值多项式。
   • 可逆性： 本文证明，只要对流场 $w$ 满足解析条件（特别是相对于粘性的离散范数 $|w|_{h,d}$ 的小性条件），局部算子 $K_{T,w}$ 在 $L(T)$ 上是有界可逆的。这种可逆性允许局部解在每个单元上独立计算。

3. 简化表述：
   通过消除局部层面的高阶压力分量（这些分量通过局部算子与速度相连），作者推导出了仅针对速度未知的简化表述。该表述：

   • 在局部层面消除了鞍点结构。
   • 将强迫性（coercivity）从 Stokes 设置转移到简化的 Oseen-Trefftz 空间。
   • 仅保留全局耦合用于零均值压力分量，以强制执行离散散度约束。

4. 稳定性分析：
   分析确立了：

   • 双线性型的连续性。
   • 简化形式在 Trefftz 子空间上的强迫性。
   • 全耦合系统在标准 DG 范数下的 Inf-sup 稳定性。
     这些结果依赖于抽象的局部-全局框架以及 $L(T)$ 的特定构造，确保了适定性和拟最优性。

主要贡献
本文将嵌入式 Trefftz-DG 方法从 Stokes 问题扩展到了稳态 Oseen 方程，为随后的非线性 Navier–Stokes 分析（第二部分）提供了线性基础。具体贡献包括：

• 构造局部补空间： 不同于 Stokes 情况中依赖常系数 Taylor 多项式论证的方法，这项工作构造了 $L(T)$ 以处理由对流项引起的变系数局部算子。
• 处理非齐次右端项： 该方法直接将非齐次项纳入局部问题表述中，而非使用修正项论证，从而自然地契合抽象的局部-全局分裂框架。
• 简化表述与稳定性： 作者推导出了简化的仅含速度的表述，并证明了全 Oseen 算子的简化 inf-sup 稳定性。这消除了局部的鞍点结构，并允许在对流场满足适当的小性条件下转移强迫性。

结果

• 理论方面： 本文证明了在标准 DG 范数下的完全稳定性和拟最优性。它确立了该方法是适定的，且误差受限于离散空间中的最佳逼近误差，并受取决于对流场分辨率的常数缩放。
• 数值方面：
  • Oseen–Kovasznay 测试： 在给定的 Oseen–Kovasznay 流数值实验中，Trefftz-DG 方法达到了预期的渐近收敛阶数（速度为 $O(h^{k+1})$，压力为 $O(h^k)$）。
  • 效率： 虽然标准 DG 方法在固定多项式阶数下具有略小的误差常数，但 Trefftz-DG 方法在达到给定误差水平时，其自由度显著更少，尤其是在高阶情况下。
  • 计算成本： 时间测量结果表明，Trefftz-DG 方法始终比标准 DG 方法更快，且随着网格加密和阶数提高，其优势愈发明显。
  • 局限性： 该方法在对流主导机制（低粘性）下表现出敏感性，此时误差比标准 DG 更早恶化。这归因于局部嵌入式 Trefftz 构造的分辨率和条件数问题。

意义
本文声称为第二部分中发展的非线性 Navier–Stokes 理论提供了必要的线性分析基础。通过成功地将嵌入式 Trefftz 方法扩展到具有变系数的 Oseen 问题，作者证明了 Trefftz 技术可以在无需显式构造基函数的情况下应用于非齐次、变系数算子。简化表述被强调为分析非线性问题的关键步骤，因为它将局部压力与全局系统解耦，从而简化了迭代求解器的稳定性分析。这项工作将 Oseen 问题定位为经典 DG 离散化与 Trefftz 型模型降阶之间的桥梁，为粘性不可压缩流的高阶、低自由度模拟提供了一条路径。