Construction of codes over a commutative non-unital ring from simplicial complexes and their applications

技术摘要：基于单纯复形的交换非单位环上码的构造及其应用

问题陈述与背景
本文研究了有限环上线性码的构造，特别关注阶数为 $p^2$ 的交换非单位环 $I$ 及其 $r$ 次扩张 $S$。虽然有限域和单位环上的线性码已得到充分研究，但对非单位环上码的研究仍处于较新的发展阶段。以往的研究探讨了非单位环（包括阶数为 $p^2$ 的非交换环 $E$）上的拟自对偶码和自正交码。本研究将研究对象扩展到交换非单位环 $I$ 及其扩张 $S$，旨在利用源自单纯复形的定义集来构造具有最优参数的码。主要目标是确定这些码的重量分布、极小性以及最优性，并探索其在秘密共享方案、局部可恢复码（LRCs）以及构造强正则图方面的应用。

研究方法
作者采用定义集法来构造 $S$ 上的线性码。

1. 环结构： 环 $S$ 被定义为交换非单位环 $I = \langle a, b \mid pa=0, pb=0, a^2=b, ab=0 \rangle$ 的一个扩张。$S$ 中的元素具有形式 $as + bt$，其中$s, t \in \mathbb{F}_q$（此处$q=p^r$）。
2. 码的构造： 使用有序多重集 $D \subseteq S^m$ 作为定义集，定义长度为 $|D|$ 的 $S$ 线性码 $C_D$：
   $$C_D = \{ (v \cdot d)_{d \in D} : v \in S^m \}$$
   其中乘积 $v \cdot d$ 是通过环乘法规则定义的。
3. 单纯复形： 定义集 $D$ 是利用 $\mathbb{F}_q^m$ 上的单纯复形 $\Delta$ 构造的。具体而言，作者考虑形式为 $D = a\Delta_1 + b\Delta_2$ 的集合，其中 $\Delta_1$ 和 $\Delta_2$ 是单纯复形（可能具有多个极大元）及其补集。
4. 重量分析：
   • Lee 重量： 通过 Gray 映射 $\Phi: S \to \mathbb{F}_q^2$（定义为 $\Phi(as+bt) = (t, s+t)$）对码字的 Lee 重量进行分析。Lee 重量被计算为 Gray 图像的 Hamming 重量。
   • 类子域码： 利用投影映射 $\tau: S \to \mathbb{F}_q$（定义为 $\tau(as+bt) = t$）来构造 $\mathbb{F}_q$ 上的类子域码 $\tau(C_D)$。
5. 分析工具： 作者利用特征和、容斥原理以及单纯复形的性质（特别是极大元及其交集）来推导显式的重量分布和参数。

主要贡献与结果

1. 显式重量分布与参数：
   本文确定了当定义集由单纯复形及其补集组合而成时，$S$ 线性码的 Lee 重量分布。文中分析了五种不同的定义集情形（$D = a\Delta_1 + b\Delta_2$, $a\Delta_1 + b\Delta_2^c$ 等）。

   • 确立了 $S$ 线性码的参数（长度、规模和最小 Lee 距离）。
   • 证明了 Gray 图像 $\Phi(C_D)$ 和类子域码 $\tau(C_D)$ 是 $\mathbb{F}_q$ 上的线性码。
   • 为具有单个极大元的单纯复形情形提供了显式的重量分布，揭示了许多生成的码是少重码（具体为 1-重或 2-重码）且是可整除的。

2. 极小性与最优性：

   • 极小性： 文中建立了充分条件，使得 Gray 图像码和类子域码是极小的。一个码是极小的，是指其每一个非零码字仅覆盖其标量倍数。作者推导出了涉及单纯复形极大元大小与域大小 $q$ 之间的不等式，以保证极小性。
   • 最优性： 本文研究了这些码相对于 Griesmer 界的最优性。在特定的参数 $m, |M|, |N|$ 和 $q$ 条件下，若干族码被证明是优的。

3. 自正交性：
   文中给出了使 Gray 图像码和类子域码成为欧几里得或赫米特自正交码的条件。这些条件取决于码字重量的可整除性以及 $q$ 的特定取值（例如 $q=2, 3, 4$）。

4. 应用：

   • 局部可恢复码 (LRCs)： 作者通过选择与单纯复形非零元素相关的特定定义集，构造了局部度为 2 和 3 的 LRC 族。这些码是由类子域码 $\tau(C_D)$ 衍生而来的。
   • 秘密共享方案 (SSS)： 确定了基于所构造极小码之对偶的秘密共享方案的极小访问结构。论文指明了极小访问集的数量以及每个参与者的参与频率。
   • 强正则图 (SRGs)： 通过利用射影二重量码与 SRG 之间的对应关系，本文构造了若干族强正则 Cayley 图。这些图的参数 $(N, K, \lambda, \mu)$ 已被显式确定。此外，文中还证明了这些 SRG 的补图也是强正则的，并计算了其参数。

意义与主张
本文声称通过将单纯复形方法应用于交换非单位环 $I$ 及其扩张 $S$，推进了非单位环上码的理论。其意义在于：

• 通过 Gray 图像和类子域构造，生成了新的可整除、少重码族（在有限域上）。
• 为这些码的极小性、最优性和自正交性提供了显式判据，这对于密码学和组合学中的应用至关重要。
• 展示了该构造方法的多功能性，使其生成的码适用于局部可恢复码（对分布式存储至关重要）和秘密共享方案（对安全数据分发至关重要）。
• 建立了这些代数构造与强正则图之间的直接联系，提供了一种从编码理论原理生成具有特定参数的 SRG 的方法。

该工作并未提出实验性实现或超出所构造码及其直接应用范围的未来理论扩展。其重点在于参数的代数推导以及在其建立的编码理论框架内对其性质的验证。