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Physics-Informed Discovery of Yield Functions in Plasticity via Convex Neural Representations

本文提出了一种物理启发式框架，该框架利用凸神经网络，通过将屈服函数嵌入到可微弹塑性应力积分方案中，直接从全场位移和反作用力数据中发现各向异性屈服函数，从而绕过了对直接应力观测或预定义参数形式的需求。

原作者： Hyeonbin Moon, Donghyuk Cho, Jecheon Yu, Jeong Whan Yoon, Seunghwa Ryu

发布于 2026-06-19

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原作者： Hyeonbin Moon, Donghyuk Cho, Jecheon Yu, Jeong Whan Yoon, Seunghwa Ryu

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下，你正试图弄清楚一个藏在盒子里的、具有柔韧性的气球的确切形状。你看不见气球，摸不到它，也没有直尺可以直接测量它。你拥有的全部工具，只有一个观察盒子外部情况的摄像机，以及一个测量你移动盒子时需要施加多大力量的秤。

这篇论文展示了一种巧妙的新方法，来解决针对金属片等材料的这类谜题。以下是他们如何完成这项工作的拆解，使用了简单的类比。

问题：“金属黑盒”

当工程师设计汽车车身或飞机机翼时，他们需要准确知道金属会如何弯曲和拉伸。这种行为受所谓的**“屈服函数”（yield function）**控制。你可以把屈服函数理解为金属的“性格规则手册”。它告诉金属：“如果我朝这个方向推你这么大力，你就会开始发生永久性的变形。”

通常情况下，弄清楚这个规则手册非常困难，因为：

你看不见金属内部的应力（就像看不见气球内部的压力一样）。
你必须在许多不同的方向上对金属进行测试（向左拉、向右拉、斜向拉）。
工程师通常需要预先猜测规则手册的形状（例如，“是一个圆？还是一个正方形？”），然后尝试将数据拟合到该形状上。如果他们猜错了形状，整个模型就会失效。

解决方案：一个“聪明猜想”的机器人

作者创建了一个新的框架，其作用就像一个侦探。他们不再去猜测规则手册的形状，而是让计算机从零开始发现这个形状。

以下是这个“侦探”的工作原理：

1. “黑盒”设置
他们取了一块挖有两个孔的金属（就像挖掉了巧克力豆的曲奇饼干）。他们从四个方向对这块金属进行拉伸（水平拉伸、垂直拉伸、对角线拉伸以及扭转）。

测量内容： 他们使用摄像机观察金属表面的运动（位移），并使用秤测量拉动它所需的力（反作用力）。
未测量内容： 他们没有测量金属内部的应力或精确的塑性应变。他们只有“外部”数据。

2. “变形”AI
他们没有使用固定的数学公式，而是使用了一个凸神经网络（Convex Neural Network）。

类比： 想象一块可以改变形状的粘土。AI 就是雕塑家。
规则： 雕塑家不被允许随心所欲地制造任何形状。论文强制要求 AI 遵循严格的物理规则：
- 凸性（Convexity）： 形状必须是“碗状”的（不能有凹陷或坑洞）。这确保了金属行为的稳定性。
- 对称性（Symmetry）： 如果你拉伸金属，当你挤压它时，它的表现应该相似（拉压对称）。
- 比例性（Scaling）： 如果你将力增加一倍，其效果也应增加一倍（正齐次性）。

3. “力平衡”测试
这是最神奇的部分。AI 并不观察金属内部的应力，因为它看不见。相反，它在玩一场**“力平衡”**游戏。

AI 猜测一个屈服函数的形状（即规则手册）。
它运行一次模拟：“如果金属遵循这个规则手册，并且我用这个力去拉它，它的表面应该移动多少？”
它将自己的预测与实际的摄像机画面进行对比。
反馈循环： 如果 AI 预测的运动与实际的摄像机画面不符，它就知道自己的“规则手册”错了。它会调整粘土（神经网络）的形状，然后再次尝试。
它会不断重复这个过程，直到 AI 对金属运动的模拟与真实的摄像机和秤的数据完美匹配。

结果：成功了吗？

研究人员在三种已知的金属行为类型（其中一些简单，另一些非常复杂且具有方向性）上测试了这个“侦探”。

理想条件： 当数据很干净（没有噪声）时，AI 成功地“重新发现”了隐藏的规则手册。它画出了正确的形状，即使是对于那些复杂的形状也是如此，而且它从未被告知答案是什么。
有噪声的条件： 在现实世界中，摄像机并不完美；它们会有一些“静电”或噪声。团队通过在数据中加入虚假的“静电”来测试这一点。随着噪声变大，AI 的准确性略有下降，但它并没有崩溃。它仍然找到了一个非常接近真相的形状。
“盲区”： AI 对于通过四个拉伸方向进行测试的部分规则手册非常有信心。然而，在没有人拉伸金属的区域（例如，在从未测试过的方向上进行拉伸），AI 的确定性较低。这很合逻辑：如果你从未测试某个方向，你就无法 100% 确定金属在那里的行为。

最后一步：使其可用

AI 的“粘土”形状在数学上很复杂且有些锯齿状（它是一个神经网络）。现实世界的工程软件（用于设计汽车）需要平滑、简单的公式才能工作。

类比： AI 找到了气球完美的、复杂的形状。现在，研究人员利用一条平滑、简单的多项式曲线，将那个形状描绘出来。
结果： 这条平滑的曲线与 AI 的复杂形状几乎完全相同，并且可以轻松地插入到标准的工程软件中，以模拟金属的行为。

总结

这篇论文表明，你不需要去猜测金属弯曲的数学公式。相反，你可以通过观察金属如何移动以及你需要多大力去拉动它，利用一个受物理约束的 AI 来学习弯曲规则的形状。这就像是通过只观察影子如何移动，来推断出一个隐藏物体的形状，但这个机器人懂得物理定律，因此永远不会做出不可能的猜测。

技术摘要：通过凸神经表示进行塑性屈服函数的物理启发式发现

1. 问题陈述

识别各向异性屈服函数仍然是固体力学领域的一项重大挑战。传统方法依赖于选择特定的解析形式（例如 von Mises、Hill 1948、Barlat–Yoon），并根据实验数据进行参数校准。然而，这一过程面临着以下障碍：

数据局限性： 在全场机械测量（如数字图像相关法，DIC）中，屈服现象无法被直接观测。实验数据通常提供位移场和反力，但无法提供直接的应力场、塑性应变测量或屈服面数据。
校准复杂性： 确定各向异性行为通常需要多方向的加载，且选择一个既具有足够表达能力又足够紧凑的适当解析形式并非易事。
模型结构： 现有的数据驱动方法通常直接近似应力响应，或需要应力空间的监督，这无法揭示用于常规弹塑性应力积分的底层本构结构（即屈服函数）。

核心问题在于：如何在没有应力观测、塑性应变测量或预设参数形式的情况下，直接从全场位移和反力数据中推断出各向异性屈服函数，同时确保结果仍与弹塑性应力积分的力学结构相兼容。

2. 方法论

作者提出了一种物理启发式框架，该框架将屈服函数视为弹塑性应力积分循环内的一个受力学约束的本构组分，而非应力空间中的直接监督映射。

A. 屈服函数的神经表示
未知的屈服函数 $\bar{\sigma}(\sigma)$ 由一个凸神经网络 (Convex Neural Network, CNN) 表示，而非候选的解析方程库。为了满足关联流动法则 (AFR) 下率无关、压力不敏感塑性的力学要求，该网络强制执行以下约束：

凸性 (Convexity)： 通过输入凸神经网络架构实现，其中乘以前一层激活值的权重被约束为非负。
一次齐次性 (Positive Homogeneity of Degree One)： 通过使用 ReLU 激活函数并移除偏置项来强制执行，确保 $\bar{\sigma}(\rho\sigma) = \rho\bar{\sigma}(\sigma)$ 。
压拉对称性 (Tension-Compression Symmetry)： 通过对应力分量的符号变换进行对称化处理来实现。
光滑性 (Smoothness)： 该架构将全局 $C^1$ 光滑性放宽为 $C^0$ 分段可微表示，以同时满足凸性和齐次性约束。

B. 物理启发式训练策略
该框架利用可微弹塑性应力更新算法，仅利用位移和力数据来训练神经网络：

数据输入： 来自多种加载情况（x/y 方向单轴拉伸、双轴拉伸、简单剪切）的时间分辨全场位向数据（转换为应变增量）和反力数据。
可微应力积分： 使用显式前向欧拉格式来更新应力和塑性应变。为了保持相对于神经网络参数的可微性，将尖锐的塑性指示器（在弹性与塑性状态之间切换）替换为平滑的 Sigmoid 近似。
损失函数： 训练目标是力平衡残差。通过在有限元网格上组装应力更新来预测内力增量，并将其与根据测得的反力计算出的外力增量进行比较。通过优化神经网络参数来最小化这种不匹配。
优化： 使用基于梯度的优化器 (Adam) 同时更新所有加载情况下的网络参数。

C. 有限元部署
由于发现的神经屈服函数是分段可微的 ( $C^0$ )，不直接适用于标准的隐式有限元求解器（这类求解器需要平滑的解析导数进行回映算法），因此在发现后拟合了一个多项式代理模型 (Polynomial Surrogate)。该代理模型是一个平滑的、正齐次的项式函数，通过拟合识别出的神经屈服函数的等值线来构建，从而能够在常规隐式有限元模拟中进行部署。

3. 主要贡献

直接从可观测数据进行识别： 该框架可以直接从全场位移和反力数据中识别屈服函数，无需应力观测、塑性应变测量、直接屈服面数据或预设的解析形式。
力学约束的表示： 引入了凸神经屈服函数表示和可微弹塑性训练算法，在基于力平衡进行优化的同时，强制执行关键力学约束（凸性和正齐次性）。
全面验证： 研究使用有限元基准测试（von Mises、Hill 1948 和 Yld2000-2d）验证了该方法，评估了以下方面：
- 无噪声条件下的屈服轮廓一致性。
- 对位移测量噪声（模拟 DIC 不确定性）的敏感性。
- 可识别性和认识不确定性（通过深度集成法）。
- 部署可行性（通过平滑的多项式代理模型）。

4. 结果与验证

无噪声发现： 框架成功恢复了各向同性（von Mises）和各向异性（Hill 1948、Yld2000-2d）基准的屈服轮廓。尽管缺乏直接的应力监督，推断出的轮廓仍能匹配真实的趋势，包括方向性各向异性。
噪声敏感性： 该方法表现出对亚微米级位移噪声（0.1–0.3 µm）的鲁棒性。虽然轮廓畸变会随噪声水平增加而增大，但推断出的屈服面仍与真实趋势保持一致，表现为逐渐退化而非突然失效。
可识别性与不确定性： 对塑性活跃应力状态的分析表明，特定加载情况所访问的屈服面区域得到了良好的约束。相反，应力状态覆盖稀疏的区域（例如相反符号的正应力）表现出较高的认识不确定性，这通过深度集成的标准差得到了证实。
部署： 拟合到发现的神经函数的多项式代理模型成功复制了屈服轮廓，并在 Yld2000-2d 基准下产生了与真实值相当的有限元场结果（应力和塑性应变）。

5. 意义与主张

本文声称，屈服函数可以作为弹塑性应力积分中未知的本构组分被识别，而非作为应力空间中的监督轮廓拟合。通过将神经表示嵌入应力更新并利用力平衡进行约束，该框架弥合了数据驱动发现与经典塑性理论结构化要求之间的鸿沟。

作者强调，这种方法提供了一条受力学约束的路径，用于发现各向异性屈服函数。它将屈服函数识别问题从需要直接应力测量或预选解析形式的需求中分离出来，前提是硬化律和流动法则已知或已给定。

作者承认的局限性：

验证依赖于由有限元模拟生成的合成数据，而非实验 DIC 测量。
硬化律、流动法则 (AFR) 和弹性是预设的；本研究并未进行硬化或非关联流动法则的同步识别。
当前实现假设为平面应力条件和小变形。
神经屈服函数是分段可微的，因此在标准的隐式有限元部署中需要经过拟合多项式代理模型的后处理步骤。

作者总结道，虽然该框架成功展示了此方法在基准数据上的可行性，但未来仍需开展工作，以将其扩展到实验环境、同时识别屈服与硬化，以及三维应力状态。