Physics-Informed Discovery of Yield Functions in Plasticity via Convex Neural Representations

Resumen Técnico: Descubrimiento de Funciones de Fluencia en Plasticidad mediante Representaciones Neuronales Convexas Informadas por la Física

1. Planteamiento del Problema

La identificación de funciones de fluencia anisotrópicas sigue siendo un desafío significativo en la mecánica de sólidos. Los enfoques tradicionales dependen de la selección de una forma analítica específica (por ejemplo, von Mises, Hill 1948, Barlat–Yoon) y la calibración de parámetros frente a datos experimentales. Sin embargo, este proceso enfrenta varios obstáculos:

• Limitaciones de Datos: La fluencia no se observa directamente en mediciones mecánicas de campo completo (como la Correlación de Imágenes Digitales, DIC). Los datos experimentales suelen proporcionar campos de desplazamiento y fuerzas de reacción, pero no campos de tensión directos, mediciones de deformación plástica o datos de la superficie de fluencia.
• Complejidad de Calibración: Determinar el comportamiento anisotrópico suele requerir cargas en muchas direcciones, y seleccionar una forma analítica que sea suficientemente expresiva pero compacta es una tarea no trivial.
• Estructura del Modelo: Los métodos basados en datos existentes suelen aproximar las respuestas de tensión directamente o requieren supervisión en el espacio de tensiones, lo cual no revela la estructura constitutiva subyacente (la función de fluencia) necesaria para la integración de tensiones elastoplásticas convencional.

El problema central abordado es cómo inferir una función de fluencia anisotrópica directamente a partir de datos de desplazamiento de campo completo y fuerza de reacción, sin observaciones de tensión, mediciones de deformación plástica ni una forma paramétrica prescrita, asegurando al mismo tiempo que el resultado sea compatible con la estructura mecánica de la integración de tensiones elastoplásticas.

2. Metodología

Los autores proponen un marco informado por la física que trata la función de fluencia como un componente constitutivo mecánicamente restringido dentro de un bucle de integración de tensiones elastoplásticas, en lugar de un mapeo supervisado directo en el espacio de tensiones.

A. Representación Neuronal de la Función de Fluencia
La función de fluencia desconocida, $\bar{\sigma}(\sigma)$, se representa mediante una Red Neuronal Convexa (CNN) en lugar de una biblioteca de ecuaciones analíticas candidatas. Para satisfacer los requisitos mecánicos de una plasticidad independiente de la velocidad, insensible a la presión y con una regla de flujo asociada (AFR), la red impone:

• Convexidad: Asegurada mediante una arquitectura de red neuronal convexa de entrada, donde los pesos que multiplican las activaciones de la capa anterior se restringen para ser no negativos.
• Homogeneidad Positiva de Grado Uno: Impuesta mediante el uso de activaciones ReLU y la eliminación de términos de sesgo (bias), asegurando que $\bar{\sigma}(\rho\sigma) = \rho\bar{\sigma}(\sigma)$.
• Simetría Tensión-Compresión: Impuesta mediante la simetrización de la salida de la red sobre las transformaciones de signo de los componentes de tensión.
• Suavidad: La arquitectura relaja la suavidad global $C^1$ hacia una representación $C^0$, diferenciable por partes, para satisfacer simultáneamente las restricciones de convexidad y homogeneidad.

B. Estrategia de Entrenamiento Informada por la Física
El marco utiliza un algoritmo de actualización de tensiones elastoplásticas diferenciable para entrenar la red neuronal utilizando únicamente datos de desplazamiento y fuerza.

1. Entrada de Datos: Datos de desplazamiento de campo completo en el tiempo (convertidos en incrementos de deformación) y datos de fuerza de reacción de múltiples casos de carga (Tensión Uniaxial en x/y, Tensión Biaxial, Cortante Simple).
2. Integración de Tensiones Diferenciable: Se utiliza un esquema explícito de Euler hacia adelante para actualizar la tensión y la deformación plástica. Para mantener la diferenciabilidad respecto a los parámetros de la red neuronal, el indicador de plasticidad agudo (que cambia entre estados elásticos y plásticos) se reemplaza por una aproximación sigmoide suave.
3. Función de Pérdida: El objetivo de entrenamiento es el residuo de equilibrio de fuerzas. Los incrementos de fuerza interna, predichos mediante el ensamblaje de las actualizaciones de tensión sobre la malla de elementos finitos, se comparan con los incrementos de fuerza externa derivados de las fuerzas de reacción medidas. La función de fluencia neuronal se optimiza para minimizar este desajuste.
4. Optimización: El proceso utiliza un optimizador basado en gradientes (Adam) para actualizar los parámetros de la red a través de todos los casos de carga simultáneamente.

C. Implementación en Elementos Finitos
Dado que la función de fluencia neuronal descubierta es diferenciable por partes ($C^0$) y no es directamente adecuada para los resolvedores de elementos finitos implícitos estándar (que requieren derivadas analíticas suaves para el mapeo de retorno), se ajusta un sustituto polinomial post-descubrimiento. Este sustituto es una función polinomial suave y de homogeneidad positiva ajustada a los conjuntos de nivel de la función de fluencia neuronal identificada, lo que permite su implementación en simulaciones de elementos finitos implícitos convencionales.

3. Contribuciones Clave

• Identificación Directa desde Datos Observables: El marco identifica funciones de fluencia a partir de datos de desplazamiento de campo completo y fuerza de reacción sin requerir observaciones de tensión, mediciones de deformación plástica, datos directos de superficie de fluencia o una forma analítica prescrita.
• Representación Mecánicamente Restringida: Introduce una representación de fluencia neuronal convexa y un algoritmo de entrenamiento elastoplástico diferenciable que impone las restricciones mecánicas clave (convexidad y homogeneidad positiva) mientras optimiza basándose en el equilibrio de fuerzas.
• Validación Exhaustiva: El estudio valida el enfoque utilizando benchmarks de elementos finitos (von Mises, Hill 1948 y Yld2000-2d), evaluando:
  • Acuerdo de los contornos de fluencia bajo condiciones sin ruido.
  • Sensibilidad al ruido de medición de desplazamiento (simulando la incertidumbre de DIC).
  • Identificabilidad e incertidumbre epistémica mediante ensambles profundos (deep ensembles).
  • Viabilidad de implementación mediante un sustituto polinomial suave.

4. Resultados y Validación

• Descubrimiento Sin Ruido: El marco recuperó con éxito los contornos de fluencia para los benchmarks isotrópicos (von Mises) y anisotrópicos (Hill 1948, Yld2000-2d). Los contornos inferidos coincidieron con las tendencias de la verdad de terreno, incluyendo la anisotropía direccional, a pesar de la ausencia de supervisión directa de tensión.
• Sensibilidad al Ruido: El método demostró robustez ante ruidos de desplazamiento submicrométricos (0.1–0.3 µm). Aunque la distorsión de los contornos aumentó con los niveles de ruido, las superficies de fluencia inferidas permanecieron consistentes con las tendencias de la verdad de terreno, mostrando una degradación gradual en lugar de un fallo repentino.
• Identificabilidad e Incertidumbre: El análisis de los estados de tensión plásticamente activos reveló que las regiones de la superficie de fluencia visitadas por los casos de carga específicos estaban bien restringidas. Por el contrario, las regiones con cobertura de estado de tensión dispersa (por ejemplo, tensiones normales de signo opuesto) exhibieron una mayor incertidumbre epistémica, como lo confirmó la desviación estándar de los ensambles profundos.
• Implementación: Un sustituto polinomial ajustado a la función neuronal descubierta replicó con éxito los contornos de fluencia y produjo resultados de campo de elementos finitos (tensión y deformación plástica) comparables a la verdad de terreno para el benchmark Yld2000-2d.

5. Significado y Reivindicaciones

El artículo afirma que la función de fluencia puede identificarse como una componente constitutiva desconocida dentro de la integración de tensiones elastoplásticas, en lugar de un ajuste de contorno supervisado en el espacio de tensiones. Al incrustar la representación neuronal dentro de la actualización de tensiones y restringirla mediante el equilibrio de fuerzas, el marco cierra la brecha entre el descubrimiento basado en datos y los requisitos estructurales de la teoría de la plasticidad clásica.

Los autores enfatizan que este enfoque proporciona una vía mecánicamente restringida para el descubrimiento de funciones de fluencia anisotrópicas. Aísla el problema de identificación de la función de fluencia de la necesidad de mediciones directas de tensión o formas analíticas preseleccionadas, siempre que la ley de endurecimiento y la regla de flujo sean conocidas o prescritas.

Limitaciones Reconocidas por los Autores:

• La validación se basa en datos sintéticos generados por simulaciones de elementos finitos, no en mediciones experimentales de DIC.
• La ley de endurecimiento, la regla de flujo (AFR) y la elasticidad están prescritas; el estudio no realiza la identificación simultánea de endurecimiento o reglas de flujo no asociadas.
• La implementación actual asume condiciones de tensión plana y deformaciones pequeñas.
• La función de fluencia neuronal es diferenciable por partes, lo que requiere el paso de post-procesamiento de ajustar un sustituto polinomial para el despliegue estándar en elementos finitos implícitos.

Los autores concluyen que, si bien el marco demuestra con éxito la viabilidad de este enfoque en datos de referencia, se requiere trabajo futuro para extenderlo a entornos experimentales, la identificación simultánea de fluencia y endurecimiento, y estados de tensión tridimensionales.