Unobservables and Decoherence from Complexity

技术摘要：不可观测性与来自复杂性的退相干

问题陈述
量子力学与经典现实之间的界面仍是研究的热点领域。虽然量子机制由干涉和叠加定义，但宏观系统表现出经典特征，缺乏这些现象。标准的解释通常依赖于环境退相干。本文研究了一个替代假设：宏观系统中某些量子特征的“不可观测性”并非源于与环境的相互作用，而是源于计算复杂性所施加的根本限制。具体而言，作者探讨了是否可以基于以下假设——即量子系统无法高效解决 NP 完全问题——推导出某些在形式上有效的量子测量在物理上是无法实现的。

方法论
作者构建了一个假设的量子算法，旨在通过利用“撤销”量子测量的能力来解决 3SAT 问题（一个 NP 完全问题）。

1. 测量撤销： 该算法利用一个针对命题逻辑公式 $F$ 的“三明治-POVM”（正算符值测度），记作 $\mathcal{N}(F)$。该测量涉及对公式子句进行一系列投影测量，随后是一个“重置”测量，用于撤销不需要的结果（具体而言，是撤销投影到违反子句的子空间上的结果）。
2. 稀释技术： 为了解决连续测量中成功概率呈指数级下降的问题，作者采用了“稀释”策略。作者通过引入新变量和随机 XOR 子句，将原始公式 $F$ 转化为稀释公式 $D(F)$。这种修改确保了在整个算法过程中，测量到满足子句结果的概率保持在较高水平（平均大于 $1/2$）。
3. 复杂度假设： 核心论证依赖于两个假设：
   • (INC)： NP $\not\subseteq$ BQP（量子系统无法高效解决 NP 难问题）。
   • (OBS)： 每个在形式上有效的量子测量在实验上都是可实现的。
     作者证明，如果 (OBS) 成立，则所提出的算法将能高效解决 3SAT，从而与 (INC) 相矛盾。

主要贡献与结果
本文确立了：如果 NP 完全问题对量子系统而言是困难的，那么特定的、在形式上有效的量子测量在物理上必须是无法实现的。这些量被称为不可观测量。

1. 不可观测量的存在： 三明治-POVM $\mathcal{N}(F)$ 被证明是量子力学中的一个有效数学对象，但对于足够大的问题规模（例如数百个变量），它是物理上无法实现的，因为其执行过程会违反“NP 难问题是不可行”的假设。
2. 不可观测的泡利矩阵： 通过 Naimark 扩张定理，不可观测的 POVM $\mathcal{N}(F)$ 与不可观测的投影值测度（PVMs）相关联。作者表明，在足够大的希尔伯特空间（具体为 $2^{M+N}$ 维的拟量子/qudit）中，存在某些基底，使得泡利算符（$\tilde{X}, \tilde{Y}, \tilde{Z}$）成为不可观测量。虽然规范的泡利算符是可观测的，但用于在特定状态之间进行映射的变换版本则是不可观测的。
3. 不连通的时间演化轨道： 作者定义了使用有限资源可实现的物理时间演化集合 $\mathcal{T}$。他们证明，存在某些幺正算符（例如将一个不可观测量映射到可观测量的算符）并不属于 $\mathcal{T}$。因此，存在一对纯态 $|\psi_1\rangle$ 和 $|\psi_2\rangle$，它们无法通过任何物理上可实现的时间演化相互连接。这两者之间的跃迁概率随系统规模呈指数级衰减（$\exp(-\Omega(N))$）。
4. 复杂度诱导的退相干： 由于没有任何物理上可实现的时间演化能够连接 $|\psi_1\rangle$ 和 $|\psi_2\rangle$，因此对于相干叠加态 $\rho_{coh} = \frac{1}{2}(|\psi_1\rangle + |\psi_2\rangle)(\langle\psi_1| + \langle\psi_2|)$，任何容许的可观测算符 $A$ 的期望值都与非相干混合态 $\rho_{incoh} = \frac{1}{2}(|\psi_1\rangle\langle\psi_1| + |\psi_2\rangle\langle\psi_2|)$ 无法区分。两者期望值的差异随规模呈指数级缩放（$\exp(-\Omega(N))$）。
5. 有效超选择规则 (SSR)： 这种不可区分性意味着有效超选择规则的出现。这些状态之间的相干性是不可观测的，从而有效地将纯叠加态转变为经典混合态。这提供了一种基于计算复杂性而非环境相互作用的经典性产生机制。

意义与主张
本文声称是首次直接将量子相干性的可观测性与计算困难问题联系起来。作者提出，宏观系统的表观经典性可能部分归因于观察某些量子现象（如特定的叠加态或执行特定的测量）需要超多项式规模的资源，这使得对于任何具有有限资源的观察者而言，这些操作都是不可能实现的。

作者对其研究范围保持谦逊，指出他们仅证明了这种机制的存在。他们并不声称这是经典性的唯一来源，也没有提供该机制相对于环境退相干的定量估计。他们建议未来的工作可以量化有多少“经典世界”是由这些基于复杂性的限制所导致的。研究结果暗示，物理上可实现的运算集是量子力学中数学上有效的运算集的严格子集，并受到 NP 完全问题之困难性的约束。