Unobservables and Decoherence from Complexity

技術要約：複雑性に由来する観測不能性とデコヒーレンス

問題提起
量子力学と古典的な現実の境界は、現在も精力的な研究対象となっている。量子領域は干渉と重ね合わせによって定義される一方で、マクロな系はこれらの現象を欠き、古典的に振る舞う。標準的な説明の多くは、環境によるデコヒーレンスに依拠している。本論文は、これとは別の仮説を調査する。すなわち、マクロな系における特定の量子的な特徴の「観測不能性」は、環境との相互作用からではなく、計算複雑性が課す根本的な制限から生じるのではないか、という仮説である。具体的には、「量子系がNP完全問題を効率的に解くことはできない」という仮定が、形式的には妥当な特定の量子測定を、物理的に実行不可能であることを意味するかどうかを検討する。

手法
著者らは、量子測定を「元に戻す（undo）」能力を利用して、3SAT問題（NP完全問題の一つ）を多項式時間で解くための仮想的な量子アルゴリズムを構築する。

1. 測定の逆転（Measurement Undoing）: アルゴリズムは、命題論理式 $F$ に対する「サンドイッチPOVM（正定値演算子値測度）」、$\mathcal{N}(F)$ を利用する。この測定は、式の節（clause）に対する射影測定のシーケンスと、望ましくない結果（具体的には、節に違反する部分空間への射影）を打ち消す「リセット」測定の組み合わせで構成される。
2. 希釈技術（Dilution Technique）: 逐次的な測定において成功確率が指数関数的に低くなる問題に対処するため、著者らは、新しい変数とランダムなXOR節を導入することで、元の式 $F$ を希釈された式 $D(F)$ へと変換する「希釈」戦略を採用する。この修正により、アルゴリズム全体を通じて、充足する節の結果を測定する確率が常に高い状態（平均して1/2より大きい状態）に保たれる。
3. 複雑性の仮定: 中心となる議論は、以下の2つの仮定に基づいている。
   • (INC): NP $\not\subseteq$ BQP（量子系はNP困難な問題を効率的に解くことはできない）。
   • (OBS): すべての形式的に妥当な量子測定は、実験的に実現可能である。
     著者らは、もし (OBS) が成立するならば、提案されたアルゴリズムは3SATを効率的に解くことになり、(INC) と矛盾することを証明する。

主要な貢献と結果
本論文は、もしNP完全問題が量子系にとって困難であるならば、形式的には妥当な特定の量子測定は、物理的に実行不可能でなければならないことを確立している。これらの量は**観測不能量（unobservables）**と呼ばれる。

1. 観測不能量の存在: サンドイッチPOVM $\mathcal{N}(F)$ は、量子力学における妥当な数学的対象であるが、問題のサイズ（例：数百の変数）が十分に大きい場合には、その実行がNP困難問題の困難性という仮定に抵触するため、物理的に実行不可能であることが示される。
2. 観測不能なパウリ行列: ナイマークの拡張定理を通じて、観測不能なPOVM $\mathcal{N}(F)$ は、観測不能な射影値測定（PVM）へと結び付けられる。著者らは、十分に大きなヒルベルト空間（具体的には $2^{M+N}$ 次元のqudit）において、パウリ演算子（$\tilde{X}, \tilde{Y}, \tilde{Z}$）が観測不能となる基底が存在することを示す。標準的なパウリ演算子は観測可能であるが、特定の状態間の写像に必要な変換後のバージョンは観測不能である。
3. 断絶された時間発展軌道: 著者らは、有限のリソースを用いて実現可能な時間発展の集合 $\mathcal{T}$ を定義する。彼らは、あるユニタリ演算子（例えば、観測不能なものを観測可能なものへと写像するもの）が $\mathcal{T}$ に含まれないことを証明する。その結果、純粋状態 $|\psi_1\rangle$ と $|\psi_2\rangle$ のペアが存在し、それらはどのような物理的に実現可能な時間発展によっても接続できない。これら二つの状態間の遷移確率は、システムサイズに対して指数関数的に減衰する（$\exp(-\Omega(N))$）。
4. 複雑性に起因するデコヒーレンス: 実現可能なユニタリ演算子が $|\psi_1\rangle$ と $|\psi_2\rangle$ を接続できないため、コヒーレントな重ね合わせ $\rho_{coh} = \frac{1}{2}(|\psi_1\rangle + |\psi_2\rangle)(\langle\psi_1| + \langle\psi_2|)$ に対する任意の許容可能な観測量 $A$ の期待値は、不確定な混合状態 $\rho_{incoh} = \frac{1}{2}(|\psi_1\rangle\langle\psi_1| + |\psi_2\rangle\langle\psi_2|)$ と区別がつかなくなる。期待値の差は $\exp(-\Omega(N))$ のスケールで減少する。
5. 実効的な選択則（Effective Superselection Rules, SSR）: この区別不能性は、実効的な選択則の出現を意味する。これらの状態間のコヒーレンスは観測できず、事実上、純粋な重ね合わせを古典的な混合状態へと変質させる。これは、環境との相互作用ではなく、計算複雑性に基づく古典性のメカニズムを提供する。

意義と主張
本論文は、量子的なコヒーレンスの観測可能性を、計算量的に困難な問題に直接結びつけた最初の研究であると主張している。著者らは、マクロな系の見かけ上の古典性は、特定の量子現象（特定の重ね合わせや特定の測定の実行など）を観測するために、有限のリソースを持つ観測者にとって超多項式スケールのリソースが必要となるために生じている可能性があると提案している。

著者らはその範囲について謙虚であり、このメカニズムの存在を証明したに過ぎないと述べている。これが古典性の唯一の源泉であるとか、環境デコヒーレンスに対する寄与度を定量化したものではないとも述べている。彼らは、将来の研究によって、これら（複雑性の制限）が「古典的世界」のどの程度を形作っているのかを定量化できる可能性を示唆している。結論として、物理的に実現可能な操作の集合は、量子力学における数学的に妥当な操作の厳密な部分集合であり、それはNP完全問題の困難性によって制約されている。