Asymmetric fractional coupled magnetizable piezoelectric beams with infinite viscoelastic memory: polynomial decay and sharpness of the decay rate

技术摘要：具有无限粘弹性记忆的非对称分数阶耦合磁化压电梁

问题陈述
本文研究了对具有无限粘弹性记忆的磁化压电梁进行建模的耦合双曲系统的长期动力学与稳定性。研究解决了该类系统数学建模中的一个特定空白：分数阶粘弹性记忆与分数阶磁电耦合之间的相互作用。

尽管先前的研究已经建立了整数阶耦合系统（其中耦合算子为标准拉普拉斯算子或其等价算子 $A$）或全对称分数阶系统（其中两个耦合方向均使用分数阶幂）的稳定性，但涉及非对称分数阶耦合的一般情况仍未得到解决。具体而言，本文针对如下抽象系统进行研究：
$$\begin{cases} v_{tt}(t) = -\alpha_1 Av(t) + kAp(t) + \int_0^\infty g(s)A^\alpha v(t-s)ds, \\ p_{tt}(t) = -\alpha_2 Ap(t) + kA^\beta v(t), \end{cases}$$
其中 $v$ 代表机械位移，$p$ 代表磁势。该系统具有以下特征：

• 无限记忆： 通过分数阶算子 $A^\alpha$（$\alpha \in [0,1)$）作用于机械方程的粘弹性项。
• 非对称耦合： 机械到磁性的耦合使用整数阶算子 $A$（在这一方向上实际上 $\beta=1$），而磁性到机械的反馈使用分数阶算子 $A^\beta$（$\beta \in [0,1)$）。

核心目标是确定系统能量的精确多项式衰减率，并确定该速率是否是锐利的（sharp），特别是分析分数阶 $\alpha$ 和 $\beta$ 如何共同影响耗散机制。

研究方法
作者采用了基于半群理论和频域分析的泛函分析方法：

1. 通过半群理论研究适定性：

   • 将带有记忆的非自治系统重新表述为扩展希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 中的自治演化方程。该空间包含了状态变量 $(v, v_t, p, p_t)$ 以及历史变量 $\eta(t,s) = v(t) - v(t-s)$。
   • 定义了一个特定的内积在 $\mathcal{H}$ 上，以确保能量范数与标准范数等价，这依赖于关于刚度系数（$\alpha_1, \alpha_2$）和耦合强度（$k$）的参数假设 (A2)。
   • 利用 Lumer-Phillips 定理，作者证明了相关的线性算子生成了一个收缩 $C_0$-半群，从而确立了弱解和经典解的存在性与唯一性。

2. 多项式稳定性（频域分析）：

   • 为了推导衰减率，本文利用 Borichev-Tomilov 特征化理论，该理论将多项式衰减与沿虚轴的解析算子 $(i\lambda I - \mathcal{A})^{-1}$ 的增长联系起来。
   • 作者进行了详细的光谱分析，假设解析算子的增长过快，通过构造近似解序列并利用乘子技术，推导出了矛盾估计。
   • 关键步骤包括根据谱参数 \lambda} 来估计记忆项、速度和位移的范数，同时仔细平衡分数阶 $\alpha$ 和 $\beta$。

3. 锐利性分析（谱渐近性）：

   • 为了验证推导出的衰减率是否是最优的，作者针对特定记忆核（指数衰减型）分析了系统算子的特征值渐近行为。
   • 他们构造了基于算子 $A$ 特征函数的特定测试函数，以证明解析算子范数的增长确实符合预测的衰减指数，从而确认了在特定刚度条件下该结果是锐利的。

主要贡献与结果

• 适定性： 本文严格证明了在对记忆核和系统参数进行温和假设的情况下，非对称分数阶耦合系统在扩展希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 中是适定的。
• 显式多项式衰减率： 对于光滑初始数据，作者推导出了一个显式的多项式衰减估计：
  $$\|X(t)\|_{\mathcal{H}} \leq C t^{-\frac{1}{4-2\beta-2\alpha}} \|X_0\|_{D(\mathcal{A})}, \quad \forall t \geq 1.$$
  该结果明确地将衰减指数量化为关于记忆分数阶 $\alpha$ 和磁反馈分数阶 $\beta$ 的函数。
• 与整数耦合的比较： 分析表明，引入分数反馈耦合（$\beta < 1$）会减慢能量衰减速度，相比于整数耦合情况（$\beta = 1$）。在指数的分母中，随着 $\beta$ 的减小，分母增大，这表明分数反馈削弱了从机械部分传递到磁性部分的间接阻尼效应。
• 锐利性与最优性：
  • 情况 $\alpha_1 \neq \alpha_2$： 如果刚度系数不同，推导出的衰减率 $t^{-\frac{1}{4-2\beta-2\alpha}}$ 被证明是锐利的。
  • 情况 $\alpha_1 = \alpha_2$： 当刚度系数相同时，作者的分析得出了衰减指数的上界 $\delta \leq \frac{1}{3-\beta-2\alpha}$。这表明在对称情况下可能存在锐利性的损失，或者当前的数学工具不足以确认该特定配置下 $4-2\beta-2\alpha$ 指数的优越性。

意义与主张
本文声称填补了研究充分的整数耦合案例与尚未解决的全分数阶对称耦合问题之间的理论空白。通过引入非对称分数阶框架，作者提供了一个通用模型，允许分别量化分数反馈（$A^\beta$）如何调节能量衰减。

其主要意义在于：

1. 泛化： 将衰减率公式扩展到包含分数耦合阶 $\beta$，从而推广了以往仅限于 $\beta=1$ 的研究结果。
2. 机制洞察： 证明了分数阶 $\beta$ 直接削弱了间接阻尼机制，从而降低了整体结构的稳定性能。
3. 对称性的细微差别： 揭示了基于刚度系数相等（$\alpha_1 = \alpha_2$ 与 $\alpha_1 \neq \alpha_2$）时在最优性上的微妙区别，这种现象在之前的整数耦合研究中并未观察到。

作者谦虚地指出，对于对称情况（$\alpha_1 = \alpha_2$）的确切最优衰减率仍是一个开放性问题，将 $1/(3-\beta-2\alpha)$ 还是 $1/(4-2\beta-2\alpha)$ 作为真实的衰减指数留给未来的研究。