On Runge-Kutta convolution quadrature based fractional variational integrators

技术摘要：基于龙格-库塔卷积求积法的分数阶变分积分器

问题陈述
分数阶微分方程对于模拟具有长期记忆效应的系统（如粘弹性材料和反常扩散）至关重要。虽然分数阶微积分将变分原理扩展到了耗散系统（分数阶阻尼），但为这些系统构建高阶数值积分器仍然具有挑战性。此前的工作 [23] 将后向差分卷积求积法 (BDFCQ) 与保守拉格朗日部分的 Galerkin 变分法相结合。然而，这种方法存在“饱和”效应：尽管 BDFCQ 具有实现更高阶精度的潜力，但所得的分数阶变分积分器 (FVI) 被限制在二阶精度。这一限制源于 BDFCQ 的多步结构仅作用于主要节点值，未能利用保守作用量的高阶 Galerkin 离散化中固有的内部阶段信息。因此，需要一种使分数阶部分的离散化在结构上与保守离散化的内部阶段结构相兼容的分数阶变分积分器。

方法论
作者提出了一类新型的分数阶变元积分器 (FVI)，该类积分器将龙格-库塔卷积求积法 (RKCQ) 与高阶 Galerkin 变分法相结合。该方法建立在三个支柱之上：

1. 增广变分框架： 根据受限哈密顿原理 [22]，通过倍增状态变量（$x$ 和 $y$）来引入分数阶阻尼。作用泛函被分为保守部分 ($L_{con}$) 和分数阶部分 ($L_{fra}$)。
2. 离散化策略：
   • 保守部分： 使用具有 $s$ 次多项式插值和 Lobatto 求积法的高阶 Galerically 变分法进行近似。
   • 分数阶部分： 基于 Lobatto IIIC 方法使用 RKCQ 进行近似。与 BDFCQ 不同，RKCQ 在内部龙格-库塔阶段（$t_k + c_i h$）处评估卷积积分。这使得分数阶导数的近似能够与用于保守作用量 Galerkin 离散化的内部节点完美对齐。
3. 方程推导： 作者通过应用离散受限哈密顿原理推导出分数阶离散欧拉-拉格朗日 (FDEL) 方程。该推导的关键在于为 RKCQ 建立的新离散恒等式：
   • 卷积权重的离散半群性质（引理 4.1）。
   • 非对称离散分部积分公式（引理 4.2 和 4.3），这对于处理变分框架内分数阶导数的非局部性质是必要的。

主要贡献
本文做出了四个主要贡献：

1. 构建兼容的积分器： 作者构建了 FVI，使其 RKCQ（特别是 Lobatto IIIC）的阶段结构与 Galerkin 离散化的内部节点相匹配。这种结构上的兼容性避免了以往基于 BDFCQ 方法中所观察到的阶数饱和现象。
2. 理论基础： 论文建立了在 RKCQ 设定下推导 FDEL 方程所需的必要离散恒等式（半群性质和分部积分）。
3. 收敛性分析：
   • 理论层面： 为应用于二次拉格朗日量且 $\beta = 2\alpha \in (0, 1]$ 的 2 阶段 Lobatto IIIC 方案提供了严格的二阶收敛证明。
   • 数值层面： 数值实验表明，当应用于平滑问题时，所提方法对于 3 阶段和 4 阶段 Lobatto IIIC 方案分别实现了 4 阶和 6 阶的高阶精度。
4. 中点方案： 文中还简要讨论并实现了一种基于中点的分数阶积分器 (MIDCQ)，该方案同样达到了二阶精度。

结果
所提方案在两个模型上进行了测试：二维强迫谐振子和分数阶 Bagley-Torvik 方程。

• 精度： 对于 2 阶段 Lobatto IIIC 方案，数值结果证实了其理论上的二阶收敛性。对于 3 阶段和 4 阶段方案，观测到的收敛阶分别为 4 阶和 6 阶，符合底层 Galerkin 方法的理论预期。
• 能量衰减： 积分器成功重现了分数阶阻尼系统预期的能量衰减行为。在长时间模拟中，所提 FVI 与经典的 RK4 方法相比，保持了更好的能量衰减特性。
• 正则性依赖： 研究强调，高阶收敛取决于解的正则性。对于具有不连续强迫项（例如阶跃函数）的问题，收敛阶饱和在了一阶，这与底层 RKCQ 理论的正则性要求一致。然而，对于平滑强迫项，则实现了完整的更高阶精度。
• 与 BDFCQ 的比较： 结果证实，RKCQ 方法通过充分利用内部阶段信息，克服了 BDFCQ 方法的阶数限制。

意义与主张
本文声称，这项工作的核心意义在于分数阶导数近似与保守离散化之间的结构兼容性。通过使用基于 Lobatto IIIC 的 RKCQ，该方法自然地整合了 Galerkin 离散拉格朗日量所使用的相同阶段节点。这使得保守项和分数阶项都可以在共同的网格上进行评估，从而避免了像 BDFCQ 这样的多步法所面临的阶数饱和问题。

作者谦虚地指出，虽然数值证据支持更高阶段方案的 4 阶和 6 阶收敛，但针对这些更高阶次的严格理论证明仍是一个开放性问题。此外，由于卷积权重的历史依赖性，当前实现的计算复杂度为 $O(N^2)$，但作者承认，未来可以通过快速卷积技术将其降低至 $O(N \log^2 N)$。文章总结道，该方法为构建高阶、保结构的含分数阶阻尼拉格朗日系统积分器提供了一个稳健的框架。